幂级数求和函数的方法探究

李瑞瑞 孙铭娟

(信息工程大学基础部， 河南 郑州 450001)

1 和函数的分析性质

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

以上性质告诉我们，幂级数的和函数在收敛区间内，可以逐项积分和逐项求导，并且逐项积分与逐项求导不改变幂级数的收敛半径。在利用该性质求和函数时，我们往往关注性质的前半部分。借助分析性质求和函数常见步骤如下图所示：

2 典型例题

常规解法：先求收敛域。

再求和函数：

由和函数在收敛区间内逐项可导的性质，得

常规解法：先求收敛域。

当x=0时，级数显然收敛。

再求和函数：

再利用和函数的逐项可积性质

简化解法：

由和函数在收敛域内逐项可积的性质，得：

3 结论

通过逐项求导或逐项积分求幂级数的和函数，是求幂级数和函数的一种常用方法，本文利用和函数分析性质中收敛半径不变的特点，由已知到未知，简化求解过程。另一方面，常规解法是“由果索因”的过程，是用分析法处理问题，而上述方法则是“由因导果”，是综合法，两者是可以相互转化的。但是教辅中经常是两种解法灵活运用，对初次接触这类问题的学生来说容易产生困惑，本文通过“由果索因”和“由因导果”区分两种方法，以期使学生的解题思路更加清晰。