基于状态空间平均法的反激变换器DCM小信号建模

杨 可，苏尚流

（1.西安石油大学 电子工程学院，陕西 西安 710065；2.国网泉州供电公司，福建 泉州 362000）

0 引 言

由于高集成化、高可靠性以及高效等诸多优点，DC/DC变换器被广泛应用于消费电子产品、电动汽车和新能源发电等领域[1]。良好的稳定性是DC/DC变换器应用的基础，反馈控制系统可以有效抑制输入网压和负荷引入的扰动，实现输出稳定，因此控制回路是开关电源设计的重点，而小信号模型是控制回路的基础[2]。

论文在研究不连续导电模式（Discontinuous Conduction Mode，DCM）下反激变换器工作原理的基础上，使用状态空间平均法建立了反激变换器的DCM小信号模型，并推导了各类传递函数，为其他拓扑的DCM建模提供了良好参考[3-10]。

1 反激变换器的工作原理

反激变换器的拓扑结构如图1所示。反激变换器的变压器可以等效为一个励磁电感Lm并联一个理想变压器，变压器的变比为n=Ns/Np（Np、Ns分别为原边和副边绕组的匝数）。Vin为输入电压，Vout为输出电压，Q为开关管，D为整流二极管，C为滤波电容，R为负载电阻，Vm和im分别为励磁电感上的电压和电流，VC和iC分别为电容C上的电压和电流，负载通常等效为电阻R和电流源idyn的并联。

图1 反激变换器电路结构

反激变换器的励磁电感电流在一个周期内必衰减为零的这种工作模式称为DCM。开关变换器的建模思想（求平均、分离扰动以及线性化）仍适用于DCM，但需根据DCM的新情况对建模过程做相应调整。DCM反激变换器根据开关管Q和整流二极管D的导通和截止，将一个开关周期T分为3个阶段，相应阶段的励磁电感电流波形im(t)如图2所示。

图2 反激变换器DCM模式电感电流波形图

在Ton期间，Q导通、D关断，电源对原边绕组充电储能，电容对负载充电；在Toff期间，Q关断、D导通，原边储存的能量经变压器释放，通过二极管D对电容和负载充电；在Tdeath期间，Q、D都关断，由于励磁电感电流为零，称为死区时间，此时仅电容对负载充电。

针对处于以上3个阶段中的变换器，基于状态空间平均法进行建模，首先引入了状态变量x(t)、输入变量u(t)以及输出变量y(t)，分别为：

其次对3个阶段的变换器分别列写相应的时域状态方程。

当Q导通、D关断时，则有：

已知3组状态方程如上式（4）、式（5）及式（6），可以对一个周期内的3组状态方程的进行求平均。需要注意的是，用状态空间平均法分析DCM变换器时，断续量（一般指励磁电感电流im(t)的平均值）是在其瞬时值不为零的区间内进行平均的，即不包含死区时间的平均值。对以上状态方程组求平均为：

假定一个周期内输入电压恒定，则可以求出励磁电感电流im(t)的上升斜率为Vin/Lm，则有励磁电感电流峰值为：

代入式（9），可以推出d'(t)为：

将式（4）～式（6）中的参数以及（11）代入式（7）和（8）可得：

2 反激变换器的DCM小信号模型

变换器达到稳态时，根据式（1）～（3）及占空比d(t)有：

为了构建小信号模型，需要对状态变量施加并分离扰动，所有信号可以看作是稳态分量和扰动分量之和，则有：

将式（15）代入式（7）和（8）中，忽略直流分量和二阶小信号量可得：

则DCM反激变换器的小信号模型为：

时域小信号模型在变换器控制回路的设计和稳定性评估中不宜采用，因此下面将针对上述推导的时域小信号模型使用拉普拉斯变换公式，转化为频域小信号模型，则上述公式（20）和（21）在频域中的表达式为：

最后可以求得反激变换器在DCM模式下的各类传递函数为：

式中，Yin(s)、Gidyn(s)、Gid(s)、Gvin(s)、Zout(s)和 Gvd(s)分别为励磁电感电流到输入电压、励磁电感电流到输出电流源、励磁电感电流到占空比、输出电压到输入电压、输出电压到输出电流源以及输出电压到占空比的传递函数。

3 结 论

反激变换器在中小功率开关电源中具有广泛应用，而良好性能是变换器的工作基础。小信号模型为控制回路的设计提供了依据，论文采用状态空间平均法对DCM反激变换器进行了小信号模型推导，这种建模方法具有很高的普及性，可以推广至多类变换器的DCM模式。论文通过确立反激变换器DCM模式下的3组状态方程，并遵循求平均、施加与分离扰动和线性化的建模思想，最终推出了DCM反激变换器的6个传递函数，具有导纳型传递函数和阻抗型传递函数等，拓展了传统的变换器传递函数类型，对于其他变换器的DCM建模具有较高参考价值。