一类新特征函数的应用

赵 亮，韩朝阳

(哈尔滨理工大学 理学院，哈尔滨 150080)

0 引 言

1 基本概念

在本文中，以X表示Banach空间，S(X),S(X*)分别表示X及其对偶空间X*的单位球面。

对于∀x∈X,取定一个fx∈S(X*)满足fx(x)=‖x‖，这样便得到一个X到S(X*)映射

x→fx

并约定对∀a>0,fax=fx。

考虑文[5]P.21的(1)：对于z1,z2∈S(X),λ>0有

fz1+λz2(z2)≥‖z1+λz2‖-‖z1‖≥λfz1(z2)

(1)

文[6]后来证明了式(1)对于一切z1,z2∈X和实数λ均成立。

在文[6]中定义了[0,+∞)上的关于t的实函数fx+ty(x),fx+ty(y)。并且证明了fx+ty(y)单调递增，fx+ty(x)单调递减。

定义1[4]函数

被称为是Banach空间X的广义凸性模。

定义2[7]函数

x,y∈S(X)},α∈(0,1)

被称为是Banach空间的广义光滑模。

定义3设M={(x,y)∈S(X)×S(X),∃fx∈S(X*),fx(x)=‖x‖,fx(y)=0}。

这里的α便是广义凸性模，广义光滑模中的α。

当g′(s)存在时

文[8]的结果表明

因而g′(t)=N±(x+ty,y)=fx+ty(y),

证闭。

2 主要内容

在给出了一些说明与基本定义之后，下面便是对广义凸性模，广义光滑模与特征函数关系的探讨，于是我们可以得出下面的定理与推论。

其中α′=min{α,1-α}。

证明：先证明不等式的右半部分成立

δX(α)(t)=inf{1-‖αx+(1-α)y‖:x,y∈S(X),‖x-y‖≥t}=

inf{1-‖x+(1-α)(y-x)‖:x,y∈S(X),‖x-y‖≥t}=

S(X),‖x-y‖≥t}

由式(1)得

(1-α){1-fx(y):‖x-y‖≥t,x,y∈S(X)}。

由于fy∈S(X*)，所以‖fy‖=1,|k1|=|fy(k1y+k2x)|≤|k1y+k2x|,∀k1,k2∈R。

即有 |k1y+k2x|≥|k1|,∀k1,k2∈R。

(ⅰ)若‖y+4tx‖≥2,则

(ⅱ)若‖y+4tx‖<2,‖y+4tx‖-1<2t,则

(ⅲ)若‖y+4tx‖<2,‖y+4tx‖-1>2t，则

综上可得

(1-α)[1-sup{fx(y):‖x-y‖≥t,x,y∈S(X)]≤

(1-α)[1-sup{fy+4tx(y):(y,x)∈M}]=cα(4t)

下面证明不等式的左半部分成立。

x,y∈S(X)，‖x-y‖=t}=

S(X)，‖x-y‖=t}≥

S(X)，‖x-y‖=t}]

由式(1)有

‖x-y‖=t}]=

注意此时

则有

x,y∈S(X),‖x-y‖=t}≥

S(X)，‖x-y‖=t}]

由本文中的式(1)有

此时

则

由此我们可以得出这样的一个推论：

推论1X一致凸当且仅当

其中α′=min{1-α,α},0≤t≤α′。

证明：

(1-α):x,y∈S(X)}≥

(1-α):(x,y)∈M}≥

(由于fx(y)=0,由fx+sy(y)的单调递增可知fx+sy(y)≥0)

下面不等式的左半部分成立

则fx(z)=0,从而(x,z)∈M。

即

所以

(x,z)∈M。

而

又

所以

综上定理2得证，于是我们可以得出下面的一个推论。

推论2X是一致光滑的充分必要条件为