b-凸度量空间的不动点理论

李朝博，陈丽丽

(哈尔滨理工大学 应用数学系, 黑龙江 哈尔滨 150080)

0 引 言

不动点理论在非线性泛函分析中扮演着非常重要的角色，在应用数学和其他领域都有着广泛的应用。不动点理论有着悠久的历史，1910年，荷兰数学家Brouwer创立了布劳威尔不动点定理，由此开启了不动点理论研究的先河[1]。1922年，波兰数学家Banach提出了著名的压缩映象原理，其结果的优美性和证明的简洁性，吸引了大批学者的关注，被广泛应用在数学领域并成功解决了许多数学问题，诸如隐函数存在定理，微分方程解的存在唯一性等一系列重大问题，使得不动点理论引起了国内外数学界的高度重视和深入研究[2]。随着不动点理论的不断发展完善，一系列新颖的压缩映射、非扩张型映射以及相应的不动点定理相继问世，并成功应用于微分方程、拓扑、经济均衡、对策论和优化控制等诸多领域，不动点理论已成为现代数学的重要分支。许多国内外学者利用Banach空间的几何性质对对各种非扩张型单值映射和非扩型集值映射的不动点性质进行了深入研究，所取得的研究成果极大地丰富和发展了不动点理论。随着不动点理论的不断发展，人们已经不满足于现状，通过各种方式对度量空间进行推广。1993年，Czerwik提出了b-度量空间的概念，并在该空间中给出了压缩映射的不动点定理[3]。随后，国内外众多学者对b-度量空间的不动点理论进行了广泛的研究，例如，1994年，Matthews提出了偏序度量空间的概念[4]；2013年，Shukla在b-度量空间与偏序度量空间的基础上提出了偏序b-度量空间的概念[5]；2011年，Hussian和Shah提出了锥b-度量空间[6]。更多关于b-度量空间的研究成果见文[7-14]。

1970年，Takahashi提出了凸结构的概念，并给出了凸度量空间在非扩张映像下的不动点理论[15-16]。随后，Kink与Goebal研究了凸度量空间的迭代问题[17]。更多关于凸结构的研究见文献[18-22]。本文在此基础上，继续对b-度量空间进行研究推广，在b-度量空间中引入了凸结构，从而给出b-凸度量空间的概念，并在该空间中给出了Mann迭代算法。进一步利用Mann迭代生成序列，证明了完备的b-凸度量空间的不动点性质。

1 预备知识

定义1[23]设X是一个非空集合，令d∶X×X→[0,+∞),若对任意x,y,u∈X满足：

1)d(x,y)=0,当且仅当x=y;

2)d(x,y)=d(y,x);

3)d(x,y)≤s[d(x,u)+d(u,y)]。

其中s≥1。则称d是X上的一个b-度量，称(X,d)为b-度量空间，s为其系数。很显然，s=1时，d就是通常意义的度量。

定义2[24]设(X,d)为度量空间，连续映射w∶X×X×[0,1]→X,若对于所有x,y,u∈X，α∈[0,1],有以下不等式成立：d(u,w(x,y,α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)则w称作X上的一个凸结构，(X,d,w)称为凸度量空间。

{xn}称为X中的Cauchy列，如果∀ε>0，存在自然数n0，当n,m≥n0时有d(xn,xm)<ε。(X,d)称为完备的b-度量空间，若X中的每一个Cauchy列都收敛。

2 主要结果

定义4设(X,d)为b-度量空间，连续映射w∶X×X×[0,1]→X，若对于任意的x,y,u∈X， 有以下不等式成立：

d(u,w(x,y,α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)则称(X,d,w)为b-凸度量空间。

在一般的线性空间中，Mann迭代格式定义如下：

xn+1=αnxn+(1-αn)Txn

下面利用凸结构将Mann迭代格式引入到b-度量空间中，格式如下：

例1令X=R，令d(x,y)=|x-y|r，其中r为任意实数且r>1。很显然d满足定义1中的(1)和(2)。此外，对任意的x,y,z∈X有

d(x,y)=|x-y|r=|x-z+z-y|r≤

[|x-z|+|z-y|]r≤

2r-1[|x-z|r+|z-y|r]=

2r-1(d(x,z)+d(z,y))

易知w为连续映射，下面验证其满足对任意的x,y,u∈X有

d(u,w(x,y;α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

事实上，

d(u,w(x,y;α))=|u-[αx+(1-α)y]|r≤

2r-1[αr|u-x|r+(1-α)r|u-y|r]=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)，

则(X,d,w)是一个s=2r-1的b-凸度量空间。此外，(X,d,w)不是一个通常意义下的度量空间，例如r=2时，

d(2,4)=4>d(2,3)+d(3,4)=2

例2令X=Rn，对任意的

x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)∈X，

由于

2(d(x,u)+d(u,y))

易知d满足定义1的(1)和(2)，所以(X,d)为s=2的b-度量空间。设

满足w(x,y;α)=αx+(1-α)y

易知w为连续映射，对任意的x,y,u∈X有

d(u,w(x,y;α))≤αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

事实上，

d(u,w(x,y;α))=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

所以(X,d,w)是一个s=2的b-凸度量空间。但(X,d,w)不是一个通常意义下的度量空间，例如n=1时，见例1。

注 例1和例2都是在b-凸度量空间中引入连续映射w(x,y;α)=αx+(1-α)y作为凸结构。但下面的例子说明对于同一个映射w，在某些b-度量空间中，将不能构成凸结构。

例3令X=lp,0

定义映射d∶X×X→R+∪{0},满足

对于任意

x={xn}，y={yn}，u={un}∈lp，

由

2(1-p)/p(d(x,u)+d(u,y))

易知(X,d)是系数为s=2(1-p)/p>1的b-度量空间。设连续映射w，满足

w∶X×X×[0,1]→X，

对于任意x,y∈X，令

w(x,y;α)=αx+(1-α)y

下面取xn

d(u,w(x,y;α))=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

此时w不是凸结构。

定理1设(X,d,w)为完备的b-凸度量空间，映射T∶X→X满足下列不等式

d(Tx,Ty)≤βd(x,y)，∀x,y∈X

设连续映射w∶X×X×[0,1]→X，令

xn+1=w(xn,Txn;αn)，d(x0,Tx0)=M<∞，

证明:

d(xn,xn+1)=d(xn,w(xn,Txn;αn))≤

(1-αn)d(xn,Txn)

d(xn,Txn)≤sd(xn,Txn-1)+sd(Txn-1,Txn)≤

sd(w(xn-1,Txn-1;αn-1),Txn-1)+sβd(xn-1,xn)≤

s[αn-1d(xn-1,Txn-1)+β(1-αn-1)d(xn-1,Txn-1)]=

s[αn-1+β(1-αn-1)]d(xn-1,Txn-1)

令λn-1=s[αn-1+β(1-αn-1)]，

因为

从而得到λ<1。则

d(xn,Txn)≤λ(xn-1,Txn-1)

d(xn-1,Txn-1)≤λ(xn-2,Txn-2)

…

d(x1,Tx1)≤λ(x0,Tx0)

因此

d(xn,Txn)≤λn(x0,Tx0)

d(xn,xn+1)≤(1-αn)λnd(x0,Tx0)≤

λnd(x0,Tx0)

d(xn,xn+p)≤sd(xn,xn+1)+sd(xn+1,xn+p)≤

sd(xn,xn+1)+s2d(xn+1,xn+2)+s2d(xn+2,xn+p)≤…≤

sd(xn,xn+1)+s2d(xn+1,xn+2)+…+

sp-1d(xn+p-1,xn+p)+sp-1d(xn+p-1,xn+p)≤

(sλn+s2λn+1+…+sp-1λn+p-1)d(x0,Tx0)≤

λn(s+s2+…+sp-1)d(x0,Tx0)

当n→∞时，显然λn→0，所以对任意自然数P,d(xn,xn+p)→0，从而可知{xn}为Cauchy列。

由空间的完备性知，存在x*∈X，使得xn→x*∈X,(n→∞)。注意到

d(x*,Tx*)≤s[d(x*,xn)+d(xn,Tx*)]≤

sd(x*,xn)+s2[d(xn,Txn)+d(Txn,Tx*)]≤

sd(x*,xn)+s2d(xn,Txn)+s2βd(xn,x*)≤

(s+s2β)d(x*,xn)+s2d(xn,Txn)≤

(s+s2β)d(x*,xn)+s2λnd(x0,Tx0)

令n→∞, 从而d(x*,Tx*)=0，所以Tx*=x*，则T在X中存在不动点。

最后证明不动点的唯一性。假设T在X中不动点不唯一。即存在y*∈X，使得x*≠y*满足Ty*=y*，则

d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)≤βd(x*,y*)

若d(x*,y*)≠0，由于 0<β<1，产生矛盾，故d(x*,y*)=0，即x*=y*。所以T在X中存在唯一的不动点。

d(x,y)=(x-y)2

设连续映射w∶X×X×[0,1]→X，满足

w(x,y;α)=αx+(1-α)y

令xn+1=w(xn,Txn;αn)，

证明：由例1易知(X,d)为s=2的b-度量空间，又因为，对任意x,y,u∈X，有

d(u,w(x,y;α))=d(u,αx+(1-α)y)=

[α(u-x)+(1-α)(u-y)]2≤

[α|u-x|+(1-α)|u-y|]2=

(α|u-x|)2+((1-α)|u-y|)2+2α(1-

α)|u-x||u-y|≤

(α|u-x|)2+((1-α)|u-y|)2+α(1-

α)(|u-x|2+|u-y|2)=

α(u-x)2+(1-α)(u-y)2=

αd(u,x)+(1-α)d(u,y)

即(X,d,W)为s=2的b-凸度量空间。

以此计算

…

从而得到第n项，

xn=αn-1xn-1+(1-αn-1)Txn-1=

易知n→∞，xn→0∈X,Txn→0∈X,所以0是T在X中的不动点。假设存在两个不动点x*,y*∈X，x*≠y*满足Tx*=x*，Ty*=y*，则

所以d(x*,y*)=0，即x*=y*，所以0是T在X中唯一的不动点。

注 在度量空间中，通过引入凸结构，使得度量空间兼具了线性结构的优点，便可以构造Mann迭代序列，克服了简单迭代法的一些缺陷，并去掉了加在非线性算子上的一些限制条件，具有较大的优越性。接下来，我们给出膨胀映射下Mann迭代序列收敛到唯一不动点的例子。

例5令X=R+∪{0}，对∀x∈X，令Tx=2x。定义d∶X×X→X，满足

d(x,y)=(x-y)2，

设映射w∶X×X×[0,1]→X满足

w(x,y;α)=αx+(1-α)y，

…

则有n→∞，xn→0∈X，T-1xn→0∈X，故0是T-1在X中的不动点，即T-1(0)=0。从而得到T(0)=0，所以0是T在X中的不动点。假设存在两个不动点a≠b满足Ta=a，Tb=b，则d(a,b)=d(Ta,Tb)=4d(a,b)，产生矛盾，所以不动点是唯一的。

3 结 论

文章的主要工作是将凸结构引入到b-度量空间中，从而给出了新的概念b-凸度量空间，并给出b-凸度量空间的具体例子。利用凸结构首次在b-凸度量空间中给出了Mann 迭代，并利用Mann 迭代生成序列，证明了完备b-凸度量空间中压缩映射的不动点性质。