有关统计与概率的那些典型题型

2021-05-21文王磊

初中生世界 2021年23期

关键词：树状扇形中位数

文王磊

专题复习：统计与概率

领衔人：王磊

组稿团队：江苏省连云港市海州实验中学

“统计与概率”是初中数学非常重要的知识。通过这部分内容的学习，我们能增强对事物的判断能力，能更科学地认识世界。在中考中，这部分知识也是必考的，因此，学好统计与概率就显得更加重要。下面就让我们一起来看一下相关典型问题的解题策略。

一、抽样的合理性

这类问题主要考查同学们的生活和学习经验，难度不大，注意抽样的科学性即可。

例1为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本具有代表性的是（）。

A.企业男员工

B.企业年满50岁及以上的员工

C.用企业人员名册，随机抽取三分之一员工

D.企业新进员工

【解析】关注数据来源的均衡性、广泛性、一致性即可轻松解决这类问题。故选C。

二、数据分析

这类问题主要考查数据的整理和处理，做好数据的分类、排序、计算，就可以完成问题的解答。

例2 如图1是成都市某一周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（）。

A.极差是8℃ B.众数是28℃

C.中位数是24℃ D.平均数是26℃

图1

【解析】极差是一组数据中的最大值减最小值后得到的数据；众数是出现次数最多的数；中位数是把一组数据按从小到大或从大到小排列后，中间的一个数或两个数的平均数；平均数是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。故选B。

三、摸球试验

这类问题的典型特征是在一个不透明的袋子里摸球，球的形状和大小都相同，颜色不同。这类问题的难度不大，仔细读题，看清数据，按照概率的定义解答即可。

例3一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同。从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）。

【解析】本题考查了同学们对概率基本定义的理解。袋子中一共有6个球，其中红球有4个，因此，从袋子中任意摸出一个球是红球的概率。故选D。

四、平面图形类

这类问题的载体一般是网格。在网格中，利用阴影的面积来计算某事件发生的概率。解决这类问题的关键是准确地算出阴影部分图形的面积。

例4一个小球在如图2所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上。每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是。

图2

【解析】将网格的边长看作单位1，算出每个小三角形的面积，然后数一数有多少个三角形，或者将两个三角形看作一个正方形，数一数正方形的个数，最后利用P=这个公式计算即可。故答案为。

五、树状图（或表格）探究

这类问题，需要同学们在树状图（或表格）的帮助下，科学地列出所有等可能的结果，然后计算出事件发生的概率。

例5现有四张正面分别标有数字-1、1、2、3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同。将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回；再背面朝上洗均匀，随机抽取一张记下数字。前后两次抽取的数字分别记为m、n，则点P（m，n）在第二象限的概率为________。

【解析】本题考查了概率的计算和各象限内点坐标的特征，列表表示所有等可能的结果如下：

-1 1 2 3-1（-1，-1）（1，-1）（2，-1）（3，-1）1（-1，1）（1，1）（2，1）（3，1）2（-1，2）（1，2）（2，2）（3，2）3（-1，3）（1，3）（2，3）（3，3）

由上表可知，共有16种等可能的结果，其中点P（m，n）在第二象限的结果有3种，即（-1，1），（-1，2），（-1，3），所以点P（m，n）在第二象限的概率为。故答案为。

六、概率设计

这类问题调用已有的学习经验（常见的载体主要是骰子和转盘），仔细推敲，运用概率的基本定义，认真计算即可解决。

例6如图3，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°。转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）。

（1）转动转盘一次，求转出的数字是-2的概率；

（2）转动转盘两次，用画树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率。

图3

【解析】（1）分别求出标号为1、-2和3的三个扇形圆心角的度数即可判断是否是等可能性的，然后求出概率为；（2）三个数字出现的机会均等，故可直接列表把所有结果列出，找出其中积为正数的情况，再求概率。

1-2 3 1 1-2 3-2-2 4-6 3 3-6 9

由表格可知，共有9种等可能的结果，其中积为正数的有5种，所以两次转出的数字之积为正数的概率。

七、统计与概率综合题

在各地的中考题中，统计与概率的综合题经常出现。同学们用数学方法解决实际问题，可以提高数学的应用能力，提升数学素养。

例7某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班各选派10名同学参加预赛。依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了折线统计图（如图4）和统计表。

（1）统计表中，a=________，b=________，c=________；

（2）若从两个班的预赛选手中选四名学生参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在成绩为98分的学生中任选，求另外两个决赛名额落在不同班级的概率。

图4

班级最高分众数中位数平均数八（1）班100 a 96 c八（2）班99 98 b 94.5

【解析】（1）由折线统计图分别写出八（1）班和八（2）班各10名同学的参赛成绩，再根据众数、中位数的概念得出a=96，b=96，最后求出八（1）班成绩的平均数c=94.5。（2）找出两个班级中成绩为98分的学生，利用列表法或画树状图求出另外两个决赛名额落在不同班级的概率。设（1）班学生为A1、A2，（2）班学生为B1、B2、B3，画出树状图如下：