“恒成立”条件下参数范围的求解策略

徐创瑜

下面就数学中常见的恒成立条件下参数范围的求解问题作一总结。

1.分离参数法

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两侧，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解。

在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若f（a）≥g（x）恒成立，只须求出g（x）max，则f（a）≥g（x）max，然后解不等式求出参数a的取值范围;若f（a）≤g（x）恒成立，只须求出g（x）min，则f（a）≤g（x）min，然后解不等式求出参数a的取值范围，问题还是转化为函数求最值。

2.变换主元法（适用于一次函数型）

在给出的含有两个变量的不等式中，我们习惯把变量x看成是主元（未知数），而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程比较繁琐.如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。

例对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x、p，并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。

解：原不等式可化为（x-1）p+x2-2x+1>0，令f（p）=（x-1）p+x2-2x+1>0，则原问题等价于f（p）>0在p∈[-2，2]上恒成立。

方法一：x-1<0f（2）>0或x-1>0f（-2）>0∴x<-1或x>3。

方法二：f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1

∴x<-1或x>3。

评注：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。

3.数形结合法

先将不等式（等式）两端的式子进行合理的变形，然后把不等式（等式）两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，判断参数的范围。

评注：数形结合是数学中的一种基本思想方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这在高中数学的学习中是极为有益的。

4.利用二次函数的性质

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。常常有以下两类情况：

（1）可化为二次函数在R上恒成立问题

设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

①f（x）>0在x∈R上恒成立？圳a>0且△<0;

②f（x）<0在x∈R上恒成立？圳a<0且△<0。

例对于x∈R，不等式x2-2x+3-m≥0恒成立，求实数m的取值范围。

解：不妨设f（x）=x2-2x+3-m，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使f（x）≥0（x∈R），只需△≤0，即（-2）2-4（3-m）≤0，

解得m≤2？圯m∈（-∞，2]。

评注：对于有关二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）的问题，可设函数f（x）=ax2+bx+c，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

（2）可化为二次函数在闭区间上恒成立问题

设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）当a>0时，

为了使f（x）≥k在x∈[-1，+∞）恒成立，构造一个新函数F（x）=f（x）-k是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

（作者单位：甘肃省民勤县第四中学）