含色散长波方程组的孤子解、有理解和周期解

陈 南

(厦门工学院计算机与人工智能学院,福建 厦门361021)

0 引言

寻求合适的方法来求解非线性偏微分方程[1]，是一个重要的问题。目前，已有很多方法对方程求解，例如：反散射法、齐次平衡法[2]、Darboux变换法[3]、Painlevé分析法[4-7]、Tanh函数法[8-9]等。本文研究含色散长波方程组

(1)

式(1)中β为色散系数。文献[10]中用推广的(G′/G)展开法求出了含色散长波方程组的双曲函数通解、三角函数通解以及有理函数解。现有文献[11-13]都是对(2+1)维的含色散长波方程组进行的研究，对方程组(1)这种(1+1)维含色散长波方程组研究很少。在此，用范恩贵提出的这种基于符号计算的一种统一的代数方法[14]，来构造含色散长波方程组(1)的孤子解、有理解和周期解，得到了多种不同类型的精确解[15]。

1 基于符号计算的一种统一的代数方法

首先，对方程组(1)作行波变换

u(x,t)=u(ξ)，v(x,t)=v(ξ)，ξ=x-ct

(2)

式(2)中c为待定常数，方程(1)化为

(3)

方程组(3)中第一个方程对ξ积分可得

(4)

式(4)中c-1为积分常数。将式(4)代入方程组(3)中第二个方程可得

-3u2u′+6cuu′+ku′+2βu‴=0。

(5)

式(5)中k=2(c-1-c2)。设方程的解u(x,t)可表示为

(6)

式(6)中φ满足如下一阶微分方程

(7)

式(7)中ε=±1，r为一正整数，c0,c1,...,cr为待定常数。这种方法涉及两个平衡数n和r，在一般情况下，平衡最高阶导数项和非线性项将给出n和r之间的一种关系。式(5)中线性最高阶项2βu‴和非线性项-3u2u′平衡得

r=2(n+1),

(8)

选取

n-1,r=4,

(9)

从而，可设方程(5)的解为

u=a0+a1φ,

(10)

式(7)中

(11)

则

(12)

(13)

(14)

将式(10)、式(12)、式(13)、式(14)代入方程(5)，可得

(15)

(16)

-6a0a1+6ca1+6βc3ε2=0,

(17)

(18)

由式(16) 、式(17)、式(18) ，可以得到如下解

(19)

式(19)中，c0,c1,c2,a1≠0,c4≠0为任意常数。由于ε=±1，可直接取ε2=1。

2 孤子解、有理解和周期解

(20)

(21)

(22)

将式(20)、式(21)、式(22)代入式(10)和式(4)，得方程组(1)具有扭状孤子解，三角函数和有理函数解

(23)

(24)

(25)

c-1,c2<0,c4>0;

(26)

(27)

(28)

式(26)、式(27)、式(28)中，m为模数。当m→1时，周期解(25)退化为钟状孤子解(20)，周期解(26)退化为扭状孤子解(23)。

将式(26)、式(27)、式(28)代入式(10)和式(4)，得方程组(1)具有3种Jacobi椭圆函数解

综上，得到了含色散长波方程组的8组不同类型的解。与文献[10]中得到的双曲函数解、三角函数解和有理函数解相比，增加了Jacobi椭圆函数解，进一步丰富了含色散长波方程组的解系。

3 结论

寻求合适的方法来求解非线性偏微分方程一直是一个重要的问题。利用范恩贵提出的基于符号计算的一种代数方法，能够直接的求出非线性方程的孤子解、有理解和周期解，得到了其他文献的求解方法不同的精确解。后续，可进一步推广到其他的非线性方程求解。