线性Boussinesq方程的色散量子化现象

张苗苗, 李茂华

线性Boussinesq方程的色散量子化现象

张苗苗, 李茂华*

（宁波大学 数学与统计学院, 浙江 宁波 315211）

为研究线性Boussinesq方程的周期初边值问题解在大波数条件下的渐近行为, 通过将方程解表示成Fourier级数形式, 利用Matlab软件进行数值模拟. 结果表明: 方程色散关系的渐近行为对方程解在大波数条件下的渐近行为起决定性作用, 线性Boussinesq方程存在色散量子化现象.

线性Boussinesq方程; 周期初边值问题; 色散关系; 渐近行为; 色散量子化

20世纪90年代, Berry[1]在研究周期域上线性Schrödinger方程时发现其解有明显的动力学行为, 进一步研究得到: 初值条件为阶梯函数的解在有理时刻为分段函数; 在无理时刻呈现类分形连续不可微状态. Talbot[2]发现这一现象在光学实验中也存在. 因此, Berry称这一现象为Talbot效应. 紧接着Berry等[3-4]发现这种现象也存在光学和量子力学中. 随后Kapitanski等[5]、Oskolkov[6-7]以及Taylor[8]对Talbot效应进行了分析. 2010年, Olver[9]研究了线性KdV方程在周期域上的初值条件为阶梯函数时, 发现其初边值问题的解满足Talbot效应, 进而将结论推广到色散关系为整数多项式的线性色散方程中. Chen等[10]对初值条件为阶梯函数, 且具有一般色散关系的线性和非线性色散方程进行了数值模拟, 从数值结果中得到对于线性色散方程, 色散关系的大波数渐近行为对周期域上的非光滑解的演化有决定性作用. 2021年, 尹子涵等[11]对二维线性KdV方程和Schrödinger方程的周期初边值问题进行了研究, 得出此类方程的解存在色散量子化现象. 但对线性Boussinesq方程的研究鲜见报道.

本文基于文献[10-11], 研究线性Boussinesq方程周期初边值问题解在大波数条件下的渐近行为. 首先研究色散关系为整数多项式和非整数多项式的一维线性Boussinesq方程的周期初边值问题; 然后研究二维线性Boussinesq方程的周期初边值问题. 给出存在色散量子化现象的线性Boussinesq方程的色散关系形式, 并研究在不同情况下方程周期解在大波数条件下的渐近行为.

1 一维线性Boussinesq方程

考虑定义在区间[0,2π]的Boussinesq方程的周期初边值问题:

方程的色散关系为:

将方程解展开成Fourier级数形式:

式中:为奇数.

进一步研究色散关系为:

的Boussinesq方程的周期初边值问题.

考虑定义在区间[0,2π]的Boussinesq方程的周期初边值问题:

方程的色散关系为式(5).

将式(3)代入式(6), 得到方程:

求出色散关系式(5).

时, 方程周期解的Fourier级数为:

式中:为奇数.

色散关系为:

时, 方程周期解的Fourier级数为:

式中:为奇数.

用Matlab软件画出色散关系为式(5)时方程解Fourier级数的实部和虚部前1000项和. 图3和图4是色散关系为式(7)时的结果; 图5和图6是色散关系为式(9)时的结果. 数值结果表明:在有理时刻方程解近似于分段常数函数; 在无理时刻呈现分形化现象.

图1

图2

图3

图4

图5

图6

由于

从而在大波数条件下, 色散关系为式(5)方程解可以近似于色散关系为式(2)的方程解. 表明一维线性Boussinesq方程的周期解在大波数条件下的渐近行为由色散关系的渐近行为所控制. 这个结论可以推广至二维线性色散方程的周期初边值问题.

2 二维线性Boussinesq方程

方程的色散关系为:

因为

将方程解展开成二维Fourier级数形式:

将式(13)代入式(11)中, 得到方程:

求解式(14), 得到色散关系式(12).根据阶梯函数得到色散关系为:

时, 方程解的Fourier级数为:

式中:1和2为奇数.

色散关系为:

时, 方程解的Fourier级数为:

式中:1和2为奇数.

用Matlab软件画出色散关系为式(14)的方程周期解Fourier级数的实部和虚部前100×100项和. 图7和图8为色散关系为式(15)时的结果; 图9和图10为色散关系为式(16)时的结果. 数值结果表明: 在有理时刻方程解为分片段常数形式; 在无理时刻方程解呈现分形化现象. 说明色散关系为式(12)的二维线性Boussinesq方程存在色散量子化现象.

图7

图8

图9

图10

如果式(18)的色散关系为整数多项式, 则方程的周期初边值问题存在色散量子化现象.

方程的色散关系为:

将式(13)代入式(18)中, 得到方程:

求出色散关系式(19).

时, 方程解的Fourier级数为:

式中:1和2为奇数.

色散关系为:

时,方程解的Fourier级数为:

式中:1和2为奇数.

用Matlab软件画出色散关系为式(19)的方程周期解Fourier级数实部和虚部的前100×100项和. 图11和图12是当色散关系为式(20)时的数值结果; 图13和图14是当色散关系为式(21)时的数值结果. 数值结果表明:方程解在有理时刻近似为分片段常数函数; 在无理时刻呈现分形化现象. 这与一维的情况相同.

类似地, 因为

所以

从而在大波数条件下, 色散关系为式(19)的方程解可以近似于色散关系为:

的方程解. 得到二维线性Boussinesq方程的周期解在大波数条件下的渐近行为由色散关系的渐近行为所控制. 这一结论可以推广至二维线性色散方程的周期初边值问题.

图11

图12

图13

图14

3 结语

本文研究了线性Boussinesq方程的周期初边值问题解在大波数条件下的渐近行为, 首先计算出初值条件为阶梯函数的线性Boussinesq方程解的Fourier级数; 然后用Matlab软件对不同色散关系的线性Boussinesq方程进行数值模拟. 当色散关系满足整数多项式时, 方程周期解存在色散量子化现象; 当色散关系不满足整数多项式时, 方程周期解在大波数条件下的渐近行为存在色散量子化现象. 从而可知: 线性Boussinesq方程在大波数条件下的渐近行为受色散关系在大波数条件下的渐近行为控制.

[1] Berry M V. Quantum fractals in boxes[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1996, 29(20): 6617-6629.

[2] Talbot H F. Facts relating to optical science. No. IV[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1836, 9(56):401-407.

[3] Berry M V, Marzoli I, Schleich W. Quantum carpets, carpets of light[J]. Physics World, 2001, 14(6):39-46.

[4] Berry M V, Klein S. Integer, fractional and fractal Talbot effects[J]. Journal of Modern Optics, 1996, 43(10):2139- 2164.

[5] Kapitanski L, Rodnianski I. Does a quantum particle know the time?[M]//Emerging Applications of Number Theory. New York: Springer, 1999:355-371.

[6] Oskolkov K. Schrödinger equation and oscillatory Hilbert transforms of second degree[J]. The Journal of Fourier Analysis and Applications, 1998, 4(3):341-356.

[7] Oskolkov K. A class of I. M. Vinogradov’s series and its applications in harmonic analysis[M]//Progress in Approximation Theory. New York: Springer, 1992:353-402.

[8] Taylor M. The Schrödinger equation on spheres[J]. Pacific Journal of Mathematics, 2003, 209(1):145-155.

[9] Olver P J. Dispersive quantization[J]. The American Mathematical Monthly, 2010, 117(7):599-610.

[10] Chen G, Olver P J. Dispersion of discontinuous periodic waves[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 469(2149):20120407.

[11] 尹子涵, 康静. 二维线性色散方程的色散量子化现象[J]. 应用数学和力学, 2021, 42(7):741-750.

Dispersion quantization of linear Boussinesq equation

ZHANG Miaomiao, LI Maohua*

( School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China )

In this paper, we study the asymptotic behavior of solutions to periodic initial boundary value problem for linear Bousssinesq equation with large wave numbers. By expressing the solution of the equation in Fourier series, Matlab is used for numerical simulation. The simulation results show that the asymptotic behavior of the dispersion relation plays a decisive role in the asymptotic behavior of the solution of the equation on the condition of large wave numbers, which indicates that the dispersion quantization phenomenon exists in the linear Bousenisq equation.

linear Bousssinesq equation; periodic initial boundary value problem; dispersion relation; asymptotic behavior; quantization of dispersion

O29

A

1001-5132（2022）02-0027-08

2021−10−14.

宁波大学学报（理工版）网址: http://journallg.nbu.edu.cn/

国家自然科学基金（12111530003）; 宁波市自然科学基金（2018A610197）.

张苗苗（1995－）, 女, 甘肃天水人, 在读硕士研究生, 主要研究方向: 可积系统. E-mail: 3294140387@qq.com

李茂华（1973－）, 男, 浙江宁波人, 副教授, 主要研究方向: 可积系统. E-mail: limaohua@nbu.edu.cn

（责任编辑 史小丽）