一类薛定谔方程的精确解
2021-05-15杨吉英
张 娟,杨吉英
(1.昆明理工大学津桥学院 理工学院,云南 昆明 650106;2.保山学院 数学学院,云南 保山 678000)
薛定谔方程是奥地利理论物理学家薛定谔于1926年提出的,它是量子力学的基本方程.薛定谔方程是在波函数的时间演化研究中出现的偏微分方程,其中线性薛定谔方程的标准形式为[1]
vt=ivxx,i2=-1,t>0,
其初始条件为
v(x,0)=g(x),
其中,g(x)是连续且平方可积函数.而非线性薛定谔方程的标准形式为[1]
ivt+vxx+β|v|2v=0,
其初始条件为
v(x,0)=g(x).
自然分解法是自然变换法[2-4]和传统的Adomian分解法[5-6]的结合.本文利用自然分解法得到线性及非线性薛定谔方程的精确解,并与已有的结果进行比较.
1 自然变换
定义1[2-4]设f(t)∈A,t≥0,其中
A={f(t)|∃M,τ1,τ2,使得|f(t)| 则 为函数f(t)的自然变换. 若R(s,u)是f(t)的自然变换,则称f(t)为R(s,u)的逆变换. 下面,给出自然变换的一些基本性质. 定理1[2-4]若R(s,u),F(S)分别是f(t)∈A的自然变换和Laplace变换,则 定理2[2-4]若R(s,u),G(u)分别是f(t)∈A的自然变换和Sumudu变换,则 定理5[2-4]若α,β是非零常数,f(t)与g(t)是A上的函数,则 N+[αf(t)±βg(t)]=αN+[f(t)]±βN+[g(t)]. 下面介绍自然分解法[7-8].考虑下面的非线性薛定谔方程 ivt+vxx+β|v|2v=0, (1) 其初始条件为 v(x,0)=g(x), (2) 其中,β是常数,v(x,t)是复值的. 方程(1)式两边同时取自然变换,有 (3) 将方程(2)代入方程(3),得 (4) 方程(4)两边同时取逆变换,有 (5) 其中,G(x,t)是由源项和初始条件产生的项. 设 (6) 引入Adomian多项式来表示非线性项 (7) 其中 (8) 将(6),(7)代入方程(5),得 (9) 比较方程(9)两边,得 v0(x,t)=G(x,t), 以此类推, 于是,此方程的解由下面的式子给出 下面将自然分解法应用于求解线性及非线性薛定谔方程. 例1 考虑下面的线性薛定谔方程[9] vt(x,t)+ivxx=0, (10) 其初始条件为 v(x,0)=sinhx. (11) 首先,方程(10)两边取自然变换,得 (12) 将式(11)代入方程(12),有 (13) 方程(13)两边同时取逆变换,得 (14) 设 (15) 结合(14),(15)得 (16) 比较(16)式两边,有 v0(x,t)=sinh2x, 以此类推,可以得到以下级数形式的解 于是得到原方程的精确解 v(x,t)=e-4itsinh2x. 这与文献[9]中通过变分迭代法得到的结果是一致的. 例2 考虑下面的非线性薛定谔方程[9] ivt(x,t)+vxx(x,t)+2|v|2v=0, (17) 其初始条件为 v(x,0)=e-ix. (18) 首先,方程(17)两边取自然变换,得 (19) 将式(18)代入方程(19),有 (20) 方程(20)两边同时取逆变换,得 (21) 设 (22) 结合(21),(22)得 (23) 比较(23)式两边,有 v0(x,t)=e-ix, 以此类推,可以得到以下级数形式的解 v(x,t)=v0(x,t)+v1(x,t)+v2(x,t)+v3(x,t)+… =ei(t-x). 于是得到原方程的精确解 v(x,t)=ei(t-x). 这与文献[9]中通过变分迭代法得到的结果是一致的. 本文利用自然分解法,研究了线性及非线性薛定谔方程的精确解.通过两个例子验证了该方法的有效性和准确性.将致力于更一般化的模型,以供将来的研究,并将此方法应用于其他非线性偏微分方程的求解.2 自然分解法及其应用
3 应用举例
4 结论