分类讨论 以圆定“形”

陈超

等腰三角形作为特殊的三角形，有其独有的性质，是三角形知识的重要组成部分。在探讨形的存在性问题时，等腰三角形中蕴含着重要的数学思想方法，即分类讨论思想，这也是中考常考的知识。在具体考查时，选择题、填空题、解答题都有可能涉及。解决这类问题是有通法可循的，特别是在选择题和填空题中。下面就剖析两道中考题，以帮助同学们体会通法的奥妙。

一、在坐标系中的等腰三角形

例1 （2019·江蘇徐州）函数y=x+1的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上。若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有个。

【解析】题目中虽然要求△ABC为等腰三角形，但是没有说明哪条边是腰或底，故AB可能是腰也可能是底，所以需要分类讨论。因为一个等腰三角形有两腰一底，且底边与顶角的顶点成一一对应关系，所以以顶角的顶点为标准分类较好。而底角的顶点在以顶角顶点为圆心，腰长为半径的圆上，这样的圆与特殊的线（题中要求的线）的交点即为底角的顶点，这样等腰三角形位置即可确定。

根据题意，画出函数图像，如图1。①当点A为等腰三角形的顶角顶点，即AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径画⊙A，⊙A与x轴的交点即为点C，这时有2个（记为C1、C2）;②当点B为等腰三角形的顶角顶点，即BA=BC时，以点B为圆心，以BA长为半径画⊙B，⊙B与x轴的交点即为点C（不与点A重合的点），这时有1个（记为C3）;③当点C为等腰三角形的顶角顶点，即CA=CB时，因为圆心与半径都不确定，此时就不能通过画⊙C来确定点C了，但CA=CB，故点C在线段AB的垂直平分线上，过⊙A与⊙B的两个交点画直线，即为线段AB的垂直平分线，它与x轴的交点即为点C（恰好与原点O重合），此时有1个（记为C4）。所以满足条件的点C共有4个。

【总结】确定点C的个数，就是确定等腰△ABC的个数。由于等腰△ABC的底或腰的不确定性，决定了必须分类讨论。此时，分类的标准成为关键。分类必须做到标准唯一，不重不漏，易于理解与操作。分类标准由边向点的思维的转化（顶角顶点又可以以等边形式呈现），易于理解，再用圆来确定点的位置，进而确定等腰三角形。这种方法我们可以称为分类讨论、以圆定“形”法。

二、在点的运动中的等腰三角形

例2 （2016·江苏宿迁）如图2，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为。

【解析】我们可以采用分类讨论、以圆定“形”法。①当BP=BC时，以点B为圆心，BC长为半径画⊙B，⊙B与直线AD的公共点即为点P。当直线AD与⊙B相交时，有2个点P;当直线AD与⊙B相切时，有且只有1个点P;当直线AD与⊙B相离时，不存在点P。②当CP=CB时，以点C为圆心，CB长为半径画⊙C。直线AD与⊙B、⊙C同时具有相同的位置关系，故点P的存在性也相同。③当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，即在过⊙B与⊙C的两交点的直线上，BC的垂直平分线与直线AD有且只有1个点P。所以当两圆与直线AD相交时，若交点不与线段AD中点重合，则有5个点P;若其中一个交点与线段AD中点重合，则有3个点P;当两圆与直线AD相切时，有且只有3个点P;当两圆与直线AD相离时，有且只有1个点P。因为四边形ABCD是矩形，AD=4，所以BC=AD=4，∠BAD=90°。所以当AB=BC=4时，两圆与直线相切，如图3所示，此时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个;当AB=[23]时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个。当P为AD中点时，△PBC为等边三角形，如图4。所以AB的长为4或[23]。

【总结】虽然本题告诉我们满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，但是等腰△PBC的腰或底依旧没有确定，所以仍需先分类讨论，再以圆定“形”。只不过这里的圆心到点P所在直线AD的距离是变化的，所以点P存在的情况是和直线与圆的位置关系相对应的，要特别重视圆弧过线段AD中点时的情形。

（作者单位：江苏省宿迁市宿豫区保安中心学校）