三角形的一个半角公式及其应用

安徽省枞阳县宏实中学(246700) 江保兵

在教学中,笔者发现了三角形的一个半角公式,并发现它们在解题中若能巧妙应用,往往可以达到事半功倍的效果.

设ΔABC的三边分别为a,b,c,外接圆和内切圆的半径分别为R,r,面积和半周长分别为S和p,则有:

我们把①, ②, ③称为三角形的半角公式,下面结合具体的实例,谈谈这三个公式在解题中的应用.

例1(《数学通报》2020年4月号数学问题2536) 设ΔABC的三内角A,B,C所对的三边分别为a,b,c,三角形面积为Δ,求证: (a+c-b)(a+b-c)+(b+c-a)(b+a-c)+(c+a-b)(c+b-a)≥

证明(a+c-b)(a+b-c),同理:

所以待证不等式转化为:

由f(x) =的凹凸性,即原不等式成立,当且仅当ΔABC为正三角形时,等号成立.

例2(《数学通报》2020年7月号数学问题2551) 设ΔABC的面积为S,求证:

证明(1)略.(2)

所以原式成立.

(3)由③得到:

所以原式成立.

上个世纪,美国学者Jack Garfunkel 在《Crux Mathematicorum》上提出如下猜想(例3),本文利用半角公式,给予一个简易证明.

例3在ΔABC中, 有

证明一方面,由③得到:

结合ΔABC中恒等式:

上面化简过程中用到三角恒等式:

另一方面,

综合两方面,欲证

只要证明

而p2≤即为著名的O.Kooi 不等式, 它是由数学家O.Kooi 在1958年发现并给予证明的, 所以原不等式是成立的, 它是O.Kooi 不等式的一种等价形式, 当且仅当ΔABC为正三角形时,等号成立.

下面这个例子是例3 的一个变式,证明的过程留给读者.

例4(《数学通报》2019年7月号数学问题2439)求证:在ΔABC中,有

例5在ΔABC中,有

证明

同理,

由O.Kooi 不等式p2≤得到:

所以

当且仅当ΔABC为正三角形时,等号成立.