“提——好问题”与“提好——问题”

王海军

摘要：本文提出了一个如何在教学过程中设计提问题的方法，并用提问题为驱动给出了课堂的关键授课环节。让学生在无形中通过一个个相关问题的解答达到主动学习知识的目的。

关键词：教学;好问题;课堂设计

中图分类号：G633.6 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）01-012

数学课堂上需要有问题，问题是活动的载体。有了问题就需要解决问题，这样，学生的思维就活动起来了。解决了问题，也就学到了知识，而且是学生主动得到的。所以，提出一个好的问题非常重要。那么一个好的问题是如何产生的呢？

一、好问题的標准

1.问题要有一定的难度，有思考的空间，以促进学生思维的发展与锻炼

设计问题的时候要考虑到这个问题的难度怎样，对学生来说会不会太容易。没有难度的问题只能称为师生对话，虽然也是由教师提问，但是这样的提问是不用经过思考的，或者只需稍微思考就可以得到答案。而且问题简单了，就容易多而碎，师生像打乒乓球一样的一来一回。

在倍角公式的教学中，很多课堂基本上都是先复习刚学过的和角公式Cα+β、Sα+β、Tα+β。然后令β=α，让学生思考并得到三个倍角公式，再结合sin2α+cos2α=1得到余弦的另外两个倍角公式。

按照这种思路设置的问题对学生的思维缺少锻炼，学生只需要按照教师的提示进行运算就可以了，教师几乎直接告诉了学生要学习的内容以及如何得到这些内容。

变一种方式，可以这样设计：已知sinα=35，cosα=45，你能求出sin2α的值吗？能求出cos2α的值吗？

如果只知道sinα=35，能求出cos2α的值吗？只知道cosα=45呢？

由此，你能得出更一般的结论吗？即已知sinα，cosα的值推导出求sin2α，cos2α值的公式。

2.问题要“有意义”，即反映教学内容的本质

“有意义”的问题能让学生知道为什么要学习这个知识，学习任何知识都要让学生知道学习的必要性，否则学生只是知识的容器。只要我们教师从“为什么学”的这个角度进行思考，就能提出反映教学内容本质的问题（有时想到的原因可能是不对的，需要查找资料进行验证）。

在“用二分法求方程的近似解”一课的开头，有位老师设计了这样的问题[1]：现有50个小圆球，其大小、颜色等完全相同，其中有一个小球比其他49个小球略重一点。现给你一个天平，在不使用砝码的情况下，请尽快将这个较重的小球找出来？

这个问题就不是一个好的问题，情境也不是一个好的问题情境。因为即使学生懂得了这个问题的答案，也不是马上就会用二分法求方程的近似解了，解决完这个问题后还得重新学习二分法。这个问题对于学生即将要学习的知识没有多少价值，它只能让学生更好地理解二分法的思想。而且，这个问题的答案也并不是显而易见的，学生有多种不同的答案，还得花时间评价学生的答案。水管漏水或电路某个地方出现故障的例子似乎更好些，与二分法更接近一些，但也只是更接近，也没有完全反映到二分法的本质。可以讲完二分法以后，举出这样的一些例子，让学生体会二分法思想的广泛应用。

那么应该如何设计这节课的问题呢？我们应该从二分法的本质考虑：学习二分法是为了缩小方程解所在的区间（直接目的不是为了求近似解），如何缩小？一半的办法，不在这一半就在那一半。为什么是一半的方法？可以让学生思考，展开讨论。因此，问题设计如下：方程x2-2x-1=0的实数根就是函数f（x）=x2-2x-1的零点。根据图象，发现f（2）<0，f（3）>0，即此函数图象在区间（2，3）上有零点，你能否把函数f（x）=x2-2x-1的零点所在的区间缩小一下呢？学生有可能有不同的答案，如（2，2.6），（2，83），（2，2.5）等等。教师要采取追问的方式，你是怎么找到2.6，83，2.5这样的数的？找到什么数更好？如果要再次缩小一下区间呢？应该找个什么样的数？如何有规律的找出这个数？

这样处理也是符合教材上的思路，教材上是这样写的：方程x2-2x-1=0在区间（2，3）上有唯一实数根x1。然后有一个思考：你能把此方程的一个根x1限制在更小的区间内吗？

3.问题的提出要符合知识的发生发展过程

“知识的发生发展过程”需要教师比较好的了解学科教学知识，高中数学每个模块的知识都有各自的特点、数学科学也有着自己特有的研究规范，如“三角函数”是研究周期性现象;“立体几何”是研究空间几何体的形状、大小和位置关系等等。设计问题的时候应该围绕这些方面进行考虑。

在学习对数运算性质时，很多老师都是先给出几组特殊的数：（1）log33，log39，log327;（2）log24，log28，log232;（3）……然后让学生观察、猜测，得到对数的运算性质logaM+logaN=loga（M·N）。按照这种方式设计出的问题就没有反映出知识的发生发展过程，学生肯定不明白这个问题是如何产生的，怎么想到由几个特殊的数发现规律的。问题提出的很不自然，很突兀。事实上，研究了一个对象通常要考虑对象之间的运算，如集合的运算、向量的运算、复数的运算等等。学完对数之后，下面自然要考虑对数的运算，数的运算包括+、-、×、÷、乘方等。比如学习指数之后就研究了同底指数的乘法am·an=am+n、除法am÷an=am-n和乘方（am）n=amn（指数的加法和减法没有规律）。学生明白了这些之后，就可以提出问题：你觉得对数会有哪些运算性质？学生自然会想到对数的+、-、×、÷、乘方等。

4.问题提出的时机要恰当，让学生有兴趣思考

在问题给出之前必须有铺垫，否则直接给出问题学生会不感兴趣。

在学习解析几何《直线与圆的位置关系》一课时，有位教师是这样设计问题的：在几何画板上画了动直线和定圆显然相交的情况，又画了显然相离的情况，并依次说明是相交和相离的。第三次（图1）是当直线与圆好像相切的时候问学生：直线与圆是什么位置关系（大部分学生都说是相切的）？然后又稍微移动了两次直线（图2和图3），分别问学生直线与圆是什么位置关系（这次说相切的少了很多）？最后一次画完图之后，留出时间让学生回答、谈谈自己的看法（刚才是相切的，这次应该不是相切的了，但看起来还是相切的，让学生感觉到确实是个问题）。通过这几次的画图和最后学生的回答就把学生完全代入到问题情境中了。这一些都铺垫完了之后，才给出问题：怎么说清楚这个位置关系（图3）？

如果把这三个图中的任何一个单独拿出来问学生，学生会没有任何疑问的说成是相切的。三个放到一起学生自然感觉到这是个问题（最多有一个是相切的），并愿意、有兴趣思考怎么样判断、用什么方法判断这个位置关系。从而得到应该建立坐标系，利用直线与圆的方程判断（两种判断方法）。因为“形缺数时难入微”，必须量化。

5.问题要具体明确、易于被学生理解，不至于产生歧义

证明《解三角形》中的正弦定理时，通常的方法都是通过作高把任意三角形转化为直角三角形进行证明。很多时候，学生只画出锐角三角形进行证明，这样的证明是不严谨的，应该证明在钝角三角形中正弦定理也成立。那么当学生只证明正弦定理在锐角三角形中成立后。应该怎么启发学生，让学生知道钝角三角形也需要说明呢？有位老师的问法是：“上述证法能行吗？[2]”这个问题就不明确（“能行吗”是指证法错误还是不全面），也不具体（哪个地方不行）。课堂上，学生面面相觑，不知道老师问的什么意思。还以为证明正弦定理在锐角三角形中成立的证法是错误的。我们可以这样问：“上述证明过程是否严谨、全面？”若学生没明白，再追问“即过A点作BC边上的高，垂足应该在什么位置（一定在线段BC上吗）？”这也是证明过程中要分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的原因。学生自然能发现当角B或角C为直角时，垂足D与B点或C点重合，当角B或角C為钝角时，垂足在线段BC外。这样的问法能让学生知道为什么要分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形进行证明。不光知道是什么，还知道为什么。

6.问题要考虑到课堂上学生可能的答案，与教师希望的答案不一致时怎么处理

在学习《三角恒等变换》，得到两角和（差）的正切公式tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ以后，教材（苏教版，必修4）上有个思考：两角和与差的正切公式在结构上有什么特点？对于这个问题，我们希望学生得到的答案是：有两个角正切的和（差），还有两个角正切的积（下面有个例题要用到这个特点）。但是学生不一定一下就能说出这个答案。学生的答案可能是：公式是个分式（因为前面学习的两角和与差的正弦、余弦公式都是整式）。两角和的正切公式的分子也是和，分母是差;两角差的正切公式，分子是差，分母是和……

当学生有这样的回答时，我们可以采用追问的方式，让学生的观察更本质一些，如：公式是个分式，分子、分母的结构特点呢？分子是和，是哪两个和;分母是差，是哪两个差？

7.问题提出之前要注意“先行组织者”的使用，即方向的引导，利于启发学生思考

由于学生的基础不同，知识掌握的情况不一定都一样。如果当堂课要学习的内容，要用到上节课或者以前学习的知识，这时教师应该复习一遍或者强调一遍，让学生大约处在同一起跑线上。否则问题提出后，会只有少量的掌握好的同学能思考出来。

在学习“直线与平面垂直的定义”之前，可以先复习一下学习立体几何的思想方法：平面化与转化。如如何说清楚两条异面直线是否垂直？转化为相交直线（平面化）进行说明。如何判断直线与平面是否平行？转化为直线与平面内的直线是否平行，即线面问题转化为线线问题。把这两个内容铺垫完了之后，就可以问学生：那么你觉得应该如何说清楚直线与平面是否垂直呢？试以圆锥的轴与底面垂直（圆锥的轴与底面内直线的关系）为例进行说明。

二、好问题的使用

提出了一个好的问题还需要在课堂上使用好，应该让全班同学都能参与进来、都能掌握课堂上学习的知识。

1.要留出足够的时间让学生思考

问题提出后，学生的思考需要时间。很多课堂，教师提出问题后，或者马上就提问反应快的同学，或者提问学习好的同学，用学生的一言堂代替教师的一言堂。这个时候，学习的效率是比较低的，因为没思考出来的同学还想思考，并不想听;思考不出来的同学，没经过自己的思考，即使知道了答案也理解不了，理解了印象也不够深刻。

在学生思考的过程中，教师可以巡视，了解学生思考的情况，给有困难的学生更多的提示。

2.教师要做主持人、不当复读机

等到学生思考一段时间，大部分同学都有了答案以后，让学生回答。学生回答的时候，教师不要打断学生的发言，一个学生回答完了以后，教师不要急于评价，也不要重复学生的答案。问其他同学是否有不同的意见，让有不同观点的学生发表意见。若没有任何不同的意见，教师再补充、评价。

3.利用好板演

若提出的问题是让学生板演的，应该尽量地多找几个同学，让更多的学生展示，尽可能地暴露出学生会犯的各种错误。板演结束以后，让学生评价黑板上的板演情况，而不是由教师评价。因为指出别人错误的时候，也是对自己的提醒。学生都没发现的问题，再由教师评价。一般来说简单的练习题应该让学生板演（特别简单的，能口答的除外）;有难度的题目，可以让学生思考，得出思路，然后再板演。不能由学生说，教师写，老师当学生的秘书;应该学生自己说、自己写。

有了好的问题，又能使用好，再加上亲切的语言与教态，恰当地使用多媒体技术，应该就是我们所期待的好课。

参考文献：

[1]卓斌.例谈数学教学中问题串的设计与使用[J].数学通报，2013，52（6）.

[2]章建跃.如何把握启发学生思维的度[J].中小学数学（高中版），2014（11）.

（作者单位：连云港市城南高级中学，江苏 连云港222000）