对亥姆霍兹线圈磁场分布的分析

薄 雪，李化南

(吉林师范大学 物理学院，吉林 四平 136000)

对亥姆霍兹线圈电流产生的磁场研究是电磁学实验中比较经典的一个问题。由于受实验仪器以及学时的限制，在大学实验中，学生经常只需要完成对线圈轴线上磁场的测定[1-5]。随着实验仪器的改进，不仅可以完成对线圈轴线上磁场的测定还可以对线圈周围有限空间的磁场进行测定，本文利用DH4501D实验仪对亥姆霍兹线圈电场产生的磁场进行了充分的研究，并对真空磁导率进行了拟合[6-7]。

1 实验原理

1.1 线圈磁场的计算

(1)

式中μ0为真空磁导率，x为圆心到测点的距离。

当x=0时，

(2)

亥姆霍兹线圈是两个匝数相同大小也相同的圆形线圈。它们相互串联起来，电流大小与方向都相同，而且亥姆霍兹线圈的间距恰好等于线圈的半径。亥姆霍兹线圈可以在轴线位置处产生很好的均匀磁场。

若x为亥姆霍兹线圈轴线上某一点到两线圈中点O的距离，则轴线上任意一点的磁场大小为：

(3)

当x=0时，

(4)

利用式(3)和式(4)可以计算出亥姆霍兹线圈轴线上的磁场强度[8-10]。

1.2 亥姆霍兹线圈模型

图1为亥姆霍兹线圈的简易模型。图1中a、b为两个相互平行且半径、匝数、电流方向及大小都完全相同的线圈。并且a、b两个线圈的间距恰好与线圈半径相同。在亥姆霍兹线圈空间的竖直平面内建立坐标系，其中x轴表示水平方向，当x=0 cm时表示在两线圈中点位置；y轴表示竖直方向，当y=0 cm时表示在轴线位置。

图1 亥姆霍兹线圈模型

2 亥姆霍兹线圈磁场的测定

2.1 不同电流下线圈的磁场分布

图2中a、b、c三个图分别是电流为25 mA、50 mA、150 mA时单个线圈轴线上的磁场的分布情况。

(a) 电流为25 mA

红色折线为通过计算得到的理论值，黑色折线为实测值。观察图2进行对比分析可得：在电流为25 mA、50 mA时，实测值与理论值的偏差较大；而电流增大到150 mA时，实测值与理论值的偏差明显降低，在图中实测值与理论值的拟合情况明显较好。由于地磁场及周围环境磁场的存在，亥姆霍兹线圈产生的磁场会受到周围环境磁场的影响。所以只有在线圈产生的磁场足够大时，外界环境的磁场对线圈本身产生的磁场的影响才会相对较小，实验测得的实测值才会更加准确。为减小周围环境磁场带来的误差，后续的实验要采用较大的电流来进行。因此在本文后续的实验中将选择电流大小为150 mA或100 mA，以得到误差较小的实测值。

2.2 确定电流下亥姆霍兹线圈的磁场分布

图3为两个线圈串联起来组成一组亥姆霍兹线圈在通以150 mA电流下的磁感强度图像，纵坐标表示磁场强度B，x轴为水平方向，x=0 cm表示此点位于亥姆霍兹线圈的中点。其中黑色曲线为单个线圈a的磁场分布，红色曲线为单个线圈b的磁场分布，蓝色曲线为线圈a和b叠加起来的磁场分布，绿色曲线为线圈a和b串联起来后的磁场分布。实心点为实验值，空心点为理论值。

观察图像分析可得：在B(a)+B(b)和B(a+b)两种情况下虽然线圈两端(x=±5 cm)的磁感强度稍微偏小，但是中间的磁感强度较为均匀。在两线圈中点处磁场最大，距离两线圈中点越远，磁场越小，与式(3)计算结果一致。但总体来说，在一组亥姆霍兹线圈间轴线上实际产生的磁场比较均匀，通过此实验验证了亥姆霍兹线圈轴线上的磁场为匀强磁场[4,11]。

图3 150 mA电流下亥姆霍兹线圈的磁场分布

2.3 单个线圈的空间磁场分布

图4为当电流值为100 mA时，单个线圈轴线上的磁感强度(y=0 m)和分别上移2、4、6 cm空间各点的磁感强度(y=2、4、6 cm)。总体来看，在距离轴线最远的位置磁感强度最大，在轴线位置的磁感强度最小；并且距离轴线位置越远，磁感强度的波动就越大。而在水平方向距离线圈4～5 cm处，竖直方向的偏移基本不会改变磁场的磁感强度，而在线圈位置处，竖直方向越偏离轴线，磁感强度越大。由分析可得，在距离线圈较远处，由于线圈在此处产生的磁场较小，周围环境也存在磁场，此处磁场的大小受周围环境的影响较大。所以无论在竖直方向如何偏移，在远处测得磁场都基本相等。在线圈位置附近处，竖直方向偏移越大，这个点距离线圈越近，线圈在此处产生的磁场较大，受周围环境的影响较小，所以磁场强度越大。所以整体上呈现出距离轴线位置越远处，磁场强度的波动更大的现象。

图4 电流为100 mA时单个线圈的空间磁场分布

2.4 亥姆霍兹线圈的空间磁场分布

图5为当电流值为100 mA时，一组亥姆霍兹线圈轴线上的磁感强度(y=0 cm)和分别上移2、4、6 cm空间各点的磁感强度(y=2、4、6 cm)。在y=0、2 cm时磁场强度分布比较均匀，在竖直方向偏移更大时磁场的分布有了显著变化，磁场强度呈现出两边大、中间小的特点，而且y越大，磁场大小变化的幅度越大。两边的磁场大小明显大于轴线同一位置的磁场大小，在两个线圈中点位置附近的磁场大小又明显小于轴线同一位置的磁场大小。偏离轴线位置的点在两个线圈中点位置附近时距离两线圈位置变远，亥姆霍兹线圈在此处产生的磁场会变小，所以y值较大时的点在两个线圈中点位置附近磁场比轴线位置处要小。偏离轴线位置的点在单个线圈位置附近时，与x轴同一位置的轴线上的点相比更靠近单个线圈，线圈在此处产生的磁场更大，所以在偏离轴线时单个线圈位置附近的磁场会比轴线同一位置的磁场更大，且偏移越多，磁感强度就越大。

图5 电流为100 mA时亥姆霍兹线圈的空间磁场分布

3 真空磁导率的拟合

图6为利用轴线处磁场计算得出的真空磁导率的值(黑色折线)和计算所得平均值(红色虚线)与理论真空磁导率(黑色实线)的值。

图6 真空磁导率的拟合

利用式(3)导出真空磁导率实测值计算公式为：

(4)

由图6可以看出：实验测出的平均值为12.433×10-7，而理论值为12.56×10-7，计算出的真空磁导率的平均值要比理论值低。观察分析图2的a、b、c三图可得，在进行磁场测量时出现了实际测出的磁场强度值要比计算所得的理论值低。利用式(4)进行分析，测得磁场值偏低会导致最终计算所得到的真空磁导率值偏低，因此出现了用实验数据计算出的真空磁导率数值比理论值低的现象，但是误差还是较小的。

4 结 语

通过理论计算与实测数据的分析可以得到以下结论：在电流较大时对于磁场的测量比较准确，误差较小。亥姆霍兹线圈轴线位置处的磁场分布均匀性较好。对于单个线圈产生的磁场进行分析，偏离轴线位置时，线圈位置处的磁场强度要比轴线处的磁场强度大，远离线圈位置处的磁场强度要比轴线处的磁场强度小。而对于两个线圈串联起来组成的亥姆霍兹线圈时，在偏离轴线位置，亥姆霍兹线圈中点位置附近的磁场强度较轴线位置处磁场强度小，在其中一个单个线圈附近的磁场强度较轴线位置处的磁场强度大。由于受到周围磁场的影响及测量误差的存在，导致测量到的磁场强度偏小，进而利用实验值测量值计算得到的真空磁导率与理论值相比也偏小。