一类Ramanujan-Nagell方程的整数解

王 振，谢 清

(安徽文达信息工程学院 计算机工程学院，合肥 231201)

0 引 言

丢番图方程：

Cx2+D=yn,C,D,x,y∈Z,n∈N*,n=1(mod2)

(1)

的整数解问题是数论中一类重要问题。针对该方程中C，D的不同取值问题，Lebesgue和Nagell针对C=1，D=1时的情况分别做出相关证明。

本文针对方程(1)变形式x2+D=yn的整数解问题展开讨论。分别针对类数的不同取值问题，分别讨论了方程x2+D=yn在n=3,D=17,43,67,71,时方程整解问题。

(I)如果d=-2或d≤-5，则其单位数仅有±1;

(II)如果d=-1,则单位数只有±1，±i;

(IV)在d>1,d≡2,3(mod4)时，则有

x2=dy2=±1x,y∈Z

的最小正解。

(V)在d>1,d≡1(mod4)时，则有

x2-dy2=±4x,y∈Z

定理3[3]设K是代数数域，OK为K的代数整数环，且类数为h(k),则h(k)=1⟺OK是主理想整环⟺OK是唯一分解整环。

定理4[4]设M满足唯一分解整环，从而对于整数k≥2以及α，β∈M(α，β)=1当αβ=γk.γ∈M时，必有：

αε1μK,β=ε2νK,μ,ν∈M

其中ε1,ε2两个元素是M中的单位元素,而且ε1ε2=εk。

定理5[5]设K是代数数域，h为K的类数，A为OK的理想，且AK为主理想，(h,k)=1,则A是主理想。

1 主要结论及证明

1.1 类数探讨丢番图方程x2+D=yn在n=3,D=43,67时，方程整数解问题

定理6

x2+43=y3,x,y∈Z

(2)

无整数解。

分解(2)式可得：

(3)

由方程(2)可知：左=x2+43≡4(mod8)，右=y3≡0(mod8) 两边矛盾，从而假设不成立。

(4)

由等式的性质比较两边可得：

23x=a(a2-129b2)

(5)

23=b(3a2-43b2)

(6)

由(6)式可知：b=±1，±2，±22，±23。

若b=±1，±2时，由(5)可知与a∉Z和a∈Z矛盾；若b=±22，±23时，由于a≡b(mod2)同奇同偶，从而由(6)式得：左=23≡23(mod24)，右=b(3a2-19b2)≡0(mod24)，显然矛盾。

综上可知，方程(2)无整数解。

定理7

x2+67=y3,x,y∈Z

(7)

整数解为(x,y)=(±110,23)。

分解(7)式可得：

(8)

由方程(7)可知：左=x2+67≡4(mod8)，右=y3≡0(mod8) 两边矛盾，从而假设不成立。

(9)

由等式的性质比较两边可得：

23x=a(a2-201b2)

(10)

23=b(3a2-67b2)

(11)

若b=1，由(11)式得：a=±5，从而x=±110,y=23；若b=-1,±2时，由(11)可知与a∉Z和a∈Z矛盾；若b=±22,±23时，由于a≡b(mod2)同奇同偶，从而由(11)式得：左边23≡23(mod24)，右边b(3a2-19b2)≡0(mod24)矛盾。

综上可知，方程(7)仅有整数解(x,y)=(±110,23)。

1.2 类数讨论丢番图方程x2+D=yn在n=3,D=17,71时，方程整数解问题

定理8

x2+17=y3,x,y∈Z

(12)

无整数解。

(13)

由等式的性质比较两边可得：

23x=a(a2-51b2)

(14)

23=b(3a2-17b2)

(15)

由(15)式可知：b=±1，±2，±22，±23。

若b=±1，±2时，由(15)可知与a∉Z和a∈Z矛盾；若b=±22，±23时，由于a≡b(mod2)同奇同偶，从而由(15)式得：左=23≡23(mod24)，右=b(3a2-17b2)≡0(mod24)，显然矛盾。

综上可知，方程12仅没有整数解。

定理9

x2+71=y3,x,y∈Z

(16)

无整数解。

(17)

整理等式(17)式可得：

由等式的性质比较两边可得：

23x=a(a2-213b2)

(18)

23=b(3a2-71b2)

(19)

由(19)式可知：b=±1，±2，±22，±23。

若b=±1，±2时，由(19)可知与a∉Z和a∈Z矛盾；若b=±22，±23时，由于a≡b(mod2)同奇同偶，从而由(19)式得：左=23≡23(mod24)，右=b(3a2-71b2)≡0(mod24)，显然矛盾。

综上可知，方程(16)无整数解。

2 结 语