非负AANA随机变量序列逆矩的渐近逼近

马琳琳，卢佳欣，沈 燕，李晓琴

(1. 安徽大学 数学科学学院， 合肥 230601；2. 山东大学 中泰证券金融研究院， 济南 250100)

0 引 言

(1)

在很多实际应用问题和理论研究中要涉及到逆矩的计算，具体见Wu等[2]和Wang等[3]。通常(1)式左式比较难计算，而右式相对来说要容易计算。当n充分大时，在(1)式中，用右式近似值代替左式值，这就是研究逆矩的渐近逼近的意义所在。

文献[1]在一些正则条件下得到了(1)式，但Kaluszka和Okoleski在文献[4]中指出了其中的错误，同时给出了(1)式成立的充分条件。 胡舒合等[5]、Wu等[2]、许敏等[6]进一步讨论了逆矩的渐近逼近问题。

1 预备知识

本文将研究AANA序列的逆矩逼近问题，在一阶矩有限的条件下获得了非负AANA随机变量序列逆矩的渐近逼近。Chandra和Chosal[7]引入了如下AANA随机变量序列的概念。

定义1 设{Xn，n≥1} 为随机变量序列，如果存在非负数列u(n)→0(n→∞)，使得对所有的n,k≥1，都有Cov{f(Xn)，g(Xn+1,Xn+2,…,Xn+k)}≤u(n)[Var(f(Xn))Var(g(Xn+1,Xn+2,…，Xn+k))]1/2,其中， f和g是对上述方差存在且对每个变元均非降的连续函数，则称{Xn，n≥1} 为AANA随机变量序列，称{u(n),n≥1}为{Xn，n≥1}的混合系数。

AANA序列是一类广泛的负相依序列，对其进行研究是很有价值的。Chandra和Chosal[7]获得了AANA序列Kolmogorov型不等式和Marcinkiewicz-Zygmund强大数定律；Ko等[8]研究了AANA序列的Hájek-Rényi型不等式及其应用；Yuan和An[9]建立了一些AANA序列的Rosenthal型不等式；Wang等[10]获得了AANA序列的收敛性质；Wang等[11]研究了AANA序列极大值不等式和强大数定律；有关其他AANA序列及其应用研究见文献[12-15]。

引理1[9]设{Xn，n≥1}是AANA随机变量序列且混合系数为{u(n),n≥1}。{fn(·)，n≥1}均是非增(或非减)的函数，则{fn(Xn)，n≥1}仍是混合系数为{u(n),n≥1}的AANA随机变量序列。

其中C2p仅依赖于p的正数。

2 主要结果

(A．2) 当n→∞时，μn→∞。

(A．3) 当n→∞时，μn～μn,s。

定理1 设EZn<∞，n≥1，且(A.1) -(A.5)均成立。 则对任意的a>0和α>0，

(2)

证明由Jensen不等式，则对任意的a>0和α>0，则

因此，证明(2)式成立，只需证明，对任意的δ∈(0,1)，

(3)

由条件(A.3)知，存在n(δ)>0，对任意的δ∈(0,1) 有

(4)

令

E(a+Xn)-α=Q1+Q2，

(5)

其中：Q1=E[(a+Xn)-αI(Un≤μn-δμn)],Q2=E[(a+Xn)-αI(Un>μn-δμn)],

由于Xn≥Un, 可得Q2≤E[(a+Xn)-αI(Xn>μn-δμn)]≤(a+μn-δμn)-α，

再由条件(A.2)，得

(6)

由(4)式得，当n≥n(δ)时，有|μn-EUn|≤δμn/2，记

由引理1知{Zn,i-EZn,i,1≤i≤n}仍是混合系数为{u(n),n≥1}的均值为零的AANA随机变量序列。下面证明用到Markov不等式，引理2和Cr不等式，对p>2和n≥n(δ)得

Q1=E[(a+Xn)-αI(Un≤μn-δμn)]≤

a-αP(Un≤μn-δμn)≤

a-αP(|EUn-Un|≥δμn/2)≤

(7)

若γ<0，则由条件(A.1)、 (A.2)、 (A.4)和(7)式得

由于p>2,故p-1>p/2。因此，存在某个正数i≥1,取p满足2imax(2,2a/(1-s))。故在定理条件(A.4)条件下有

(8)

类似地，若0≤γ<(1-s)/2,则由条件(A.1)、 (A.2)、(A.5)和(7)式得

(9)

因此当0≤γ<(1-s)/2,00，存在某个正数i≥1,选取正数p满足2imax(2,α/((1-s)/2-γ))，则

从而γ(p-1)-p(1-s)/2+α<0。故在条件(A.5)条件下，由(9)式有

(10)

因而，由(5)式，(6)式，(8)式和(10)式得(2)成立。