高中数学立体几何的解题技巧指导

2021-05-07江苏省宝应中学

江苏省宝应中学丁伟

为了顺利解决立体几何类型题，单纯采取套用固定解题思路与方法的解题方式是不可行的，必须要形成正确的立体几何解题思路，掌握有效的立体几何解题思想。

一、基于函数思想，解决立体几何问题

函数思想是数学学科教学中一个非常重要的数学思想，通过基于数和数之间的相关性来构建一个数学函数分析模型，之后指导学生调用函数方面的思想来求解立体几何问题，以此实现简化立体几何问题，提高学生解题准确度与效率的目标。

例1：现有一底面半径为R 的圆锥体，其高度为3R。在其全部的内接圆柱中，全面积最大的圆柱体为多少？

解析：这道题可以巧妙地运用函数思想，通过挖掘题干中的条件来构建函数，这样可以起到简化问题求解思路的作用。因此，在求解这道问题中，可以指导学生运用数形结合思想，通过结合数学图像来构建函数关系式，以此将立体几何问题转变成函数中的最值问题。

解：如图1，假定圆锥内接圆柱半径是r（0＜r＜R），高是h，那么可知：

图1

在立体几何问题求解期间，还可以借助构造辅助线或辅助图形的方式来简化问题求解思路，通过有效利用构造方法解决问题，可以很好地锻炼学生的逻辑思维能力，促使他们可以灵活求解复杂立体几何问题。

例2：如图2，某一矩形ABCD 中，PC ⊥面ABCD，AB=1，BC=PC=2。现在折叠这一矩形，折线为EF。假如EF //DC，且E点和F 点分别处于PD 边上和PC 边上，同时折叠之后的P 点交边AD 于M 点。试求：在MF ⊥CF 的条件下，三棱锥M-CDE 的体积是多少？

图2

图3

解析：为了简化相应的问题求解过程，可以借助构造方法，通过利用构造辅助图形的手段来解决这道问题。

在求解立体几何问题的过程中，可以对立体几何图形进行合理分割，有效应用整体立体几何和部分立体几何图形之间的相关性进行深入判断和分析，从而简化求解立体几何问题的思路，提高学生解题的准确度。

例3：如图4，现有一三棱锥P-ABC，其中∠APB=∠APC=∠BPC=60°，PB=PC=2，PA=4，试求三棱锥P-ABC 的体积。

图4

图5

总之，立体几何问题解题技巧众多，常见的包括函数思想、构造方法、分割方法等。指导学生在掌握各种解题技巧的同时，配合一定量的有效训练，力求逐步提升他们求解立体几何问题的能力。