核心素养导向的探究性教学实践与反思——以中职数学《直线与平面所成的角》为例

福建省厦门信息学校 许葆艺

探究性教学是指在教师的组织、引导下，学生围绕着教师设置的问题情境，以自主探究或合作交流的方式主动地感受问题、发现问题，自主地运用已有知识和经验寻找解决问题的方法的一种教学模式。在探究式教学的设计和实施中，要坚持以数学核心素养发展为导向，提出有引导力的问题，为学生开辟思考的空间，开展有启发性的活动，让课堂充满探索的力量，形成以知识技能为明线，思想方法为暗线，明暗结合的探究性课堂，落实数学核心素养的目标。

下面以中等职业教育国家规划新教材《数学（基础模块）》中“直线与平面所成的角（后简称‘线面角’）”的教学为例，阐述笔者在中等职业学校建筑专业班级的教学实践与反思。

一、专业助力，感受新知

问题1：在建筑专业中，如何确定柱子与地面是否垂直呢？

问题2：世界各地有很多倾斜的建筑，例如，意大利的比萨斜塔、中国的虎丘宝塔、阿联酋的首都之门等。这些建筑的中轴线与地面都不是“垂直”的关系，那如何能知道中轴线与地面的倾斜程度呢？

设计说明：直线与平面的位置关系包含了平行与垂直的判定以及线面角的求解，是中职数学《立体几何》中的重要内容，是培养学生空间想象能力的重要载体。相较于平行与垂直的判定，线面角的求解更为复杂，学习难度也更大。结合授课班级学生的专业，设置了两个问题，引导学生从熟悉的专业情境入手，关注建筑中的“线面角”问题，展开数学化的思考，同时引出“线面角”学习的现实背景与需求，从中确定“线面角”的学习主题。

二、动手操作，生成新知

问题3：在求解“空间两条直线所成的角（后简称‘线线角’）”中，我们通过作平行线进行“降维”，最终转化为求“两条相交直线的夹角”来完成。那么研究“斜线与平面所成的角”，又该如何“降维”呢？

活动1：根据教材中“直线l 与平面α 所成的角”的概念，尝试在GeoGebra 软件的3D 绘图区进行绘制与度量，同学之间互相验证。

设计说明：通过回顾“线线角”的求解方式，突出“降维”思想的重要性，引导学生更多地关注“斜线与平面所成的角”的降维过程，揭示知识间的联系，意在培养学生的学习迁移能力。结合中职学生动手能力较强的特点，设计活动1—根据教材中的文字概念，利用软件自行绘制“线面角”，展开核心知识的学习。以学生的实践操作替代教师的语言讲解，形象直观地呈现知识目标，化文字为图形，化静态为动态，化抽象为形象。借助软件绘图、翻转、度量等一系列动作，学生收获的是一个立体的、鲜活的概念，有助于在头脑中形成文字概念和图形概念的有效连接，并为后续的探究活动提供基础与平台。

三、性质论证，巩固新知

问题4：为什么把“斜线l 与它在平面α 内的射影的夹角叫作直线l 与平面α 所成的角”呢？相比于直线l 与平面α 内其他直线所成的角，又有什么特质呢？

活动2：回到活动1 界面，每位同学在平面内任意绘制直线，度量直线与直线所成的角，将活动1 和活动2 的数据进行比较。

问题5：通过活动2，大家都有这样的疑惑：“直线l 与平面α所成的角”在“直线与平面内所有直线所成的角”中是最小的吗？想办法论证你们的猜想。

活动3：回到活动2 的软件界面，开展小组协作，设计方案，验证猜想。

设计说明：把握知识的本质，创设相应的教学情境，让学生发现并解决问题，激发学生主动学习的兴趣是基于数学核心素养探究活动的设计原则。在教材的基础上，增加对“线面角”特征的探究，进一步巩固学生对知识和图像的理解。综合考虑中职学生的学情，制订了“基于GeoGebra 软件的不完全归纳”的方案：以学生个体为单位，进行“简单枚举推理”——活动2；在此基础上，以学生小组为单位，进行“科学归纳推理”——活动3。探究活动以软件为载体，降低参与的门槛，同时兼具个人与团体活动，营造人人可参与、人人都参与，逐步形成人人爱参与的良性氛围。

建筑专业的学生普遍具备使用软件制图的能力，均能完成图像的绘制与度量。在此过程中，学生提出“线面角是斜线与平面中所有直线所成角中最小的角”的猜想。结合建筑实例和生活场景，逐步抽象出研究的几何模型（图1），同时积累了从具体到抽象的活动经验，逐步养成一般性思考问题的习惯。

图1

在GeoGebra 软件中，学生通过手动或动画功能，模拟平面内不同走向的直线，再利用表格自动记录“斜线与平面内不同走向的直线所成的角”的数值。面对得到的众多数据，学生各显神通，有的小组对数据进行排序、分析，有的小组将数据转换成折线图（如图2），直观明了，验证了自己的猜想。从建立的模型中获取数据，运用图表等手段对数据进行整理、分析和推断，形成正确的认知。

图2

四、例题讲练，应用新知

例1：如图3 所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，高DD1=4 cm，底面是边长为3 cm 的正方形，求对角线D1B 与底面ABCD 所成角的正切值。

图3

设计意图：通过解题，使学生识图的能力得到锻炼，知识应用能力得到提升。由于学生初次接触线面角的概念和图形，对此类题型的图形特点和解题步骤并不熟练，于是笔者选用最基本的模型——长方体，充分利用信息技术进行图形的旋转、隐藏，帮助学生学会思考的方法，逐步培养空间想象的能力。师生一起剖析例题：长方体的侧棱DD1是垂线，底面的对角线DB 是D1B 在底面的射影，∠DBD1是对角线D1B 与底面ABCD 所成的角，它们同在直角三角形DBD1中。例1 的逐步引导，为学生掌握知识和技能奠定了基础，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，强化数学核心素养。在此基础上，归纳提炼求解“线面角”的步骤：作垂线—找射影—确定角，渗透“做中学”的理念。

例2：如图4 所示，等腰三角形ABC 的顶点A 在平面α 外，底边BC 在平面α 内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A 到平面α 的垂线段AD=10。求：

（1）等腰三角形ABC 的高AE 的长；

（2）斜线AE 和平面α 所成的角的正弦值；

（3）斜线AC 和平面α 所成的角的正弦值。

图4

设计意图：通过例1 的学习，学生的识图能力、分析能力、解题规范等均有所提高，对此，在巩固线面角应用的同时，对其进行拓展，有意让学生自己动手画图，引导学生在脑中开展图形的立体旋转，呈现解题的最佳视角。过程侧重培养学生举一反三、方法迁移的能力，同时提高学生的逻辑推理和空间想象的能力。

五、思维梳理，提炼新知

问题6：通过本节课，同学们收获了哪些知识和方法？有什么心得？请用“思维导图”APP 完成梳理，并汇入本章的思维导图中。

问题7：华裔建筑师贝聿铭设计建造的玻璃金字塔，高21 米，底宽34 米，耸立在卢浮宫庭院中央。你能运用本节课的知识推算玻璃金字塔的侧棱和地面所成的角吗？

设计意图：借助思维导图APP，帮助学生理清本节课的知识、方法、思想，同时做好与前序知识方法的关联，逐步完善本章的知识体系。问题7 的设置，结合学生的专业将课堂探究活动向课外延伸，借助空间形式认识建筑与地面的位置关系，发展几何直观和空间想象能力，感悟事物的本质。

六、教学反思，内化经验

本节课围绕“线面角”这一概念，从直观感受到实践生成，再到性质论证、例题讲练，最后到总结提炼，教学环节自然流畅，探究过程循序渐进，符合学生的认知习惯，充分体现了“以学生为主体，以教师为主导”的教学理念，使学生的数学核心素养得到进一步的提升。

1.根植教材挖掘探究内容

中等职业教育课程改革国家规划新教材是依据相应的教学大纲和课程标准编制的，符合中等职业教育的特点和要求，是中职教师执教的依据，也是中职学生学习的依据。教材不仅是现成的数学知识，更重要的是研究数学对象、应用数学知识解决问题的过程和方法。立足教材，深入挖掘，带领学生对教材中的知识原理进行探究拓展，对教材中的典型例题开展变式研究，有利于学生数学核心素养的发展。

2.把握学情选择探究模式

学情分析是进行良好教学的前提，是教学活动的出发点和落脚点。了解中职学生的心理需求，将外在的教学目标转换为学生的学习目标，变“要我学”为“我要学”。分析中职学生的认知风格，根据学生的认知差异制订教学策略和探究形式，做到因材施教，真正落实学生的主体地位。正视中职学生间存在的差异，个人独立探究与小组协作探究相结合，同时借助信息化工具，提高课堂参与度和有效性。

3.结合专业设计探究背景

结合学生的专业特色，选择典型实例，设计相应的探究背景，把握中职数学教学与专业教学之间的内在联系，实现两者的有效融合。以专业助力数学知识的理解，以数学化解专业操作的原理，促进学生知识体系的建立与完善，对培养高素质技能型人才发挥着重要的作用。

核心素养导向是教育教学改革的大势所趋，在中职数学学科开展探索性教学，使学生逐步提高数学学科核心素养，初步学会用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界。