一类多元函数的最小（大）值的简便求法

甘肃省兰州市红古区窑街学校 杜天智 庞耀辉

最近，笔者仔细阅读了文献[1]～[3],获益匪浅，凸函数Jensen 不等式是统一的整体，凸函数的许多性质是由Jensen 不等式推导出来的，Jensen 不等式在求函数最值等方面有着非常广泛的应用，运用凸函数Jensen 不等式解决的问题中，有许多问题都可以推广变形得到更多的相关结论。笔者在分析、研究文献[1]、[2]的一些多元函数的最值问题时，总结提炼出一个多元函数的最大（小）值统一求法，现介绍如下，供参考。

为了说明问题，例题均选自文献[1]、[2]。

先介绍引理：

当0 ＜n ＜1 时的证明与n ＜0 或n ＞1 时相类似，此处略。

例1：（文献[1]例1）（苏教版选修（1-1）P84）强度分别为8,1的两个光源A,B 间的距离为3，试问：在连接两光源的线段AB 上，距光源A 为多少的点P 处照度最小？（注：照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）

注：解法1 需要联想和转化，要求有较高的思维能力。解法2 只需要将有关数据代入计算即可。

总之，多元函数最值问题因为多元的关系，所以变形方向不定、技巧性强。怎样把灵活多变的演算技巧上升为一般的数学法则或定理，这是我们数学研究或数学教学所追求的，本命题在求一类多元函数最值性问题方面不失一般性。