线性代数中特征值与特征向量的教学设计

张林丽 原乃冬 张晶晶 白忠玉

【摘要】矩阵的特征值与特征向量是线性代数中两个重要的概念.本文通過人口迁移问题的引入，采用问题驱动法和启发式教学构造出特征值与特征向量的概念，勉励学生努力践行社会主义核心价值观，培养学生严谨的科学态度和创造能力;利用研究式和启发式的教学方法推导特征值与特征向量的求法，引导学生树立崇高的学习志向，建立正确的人生观，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力;采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，通过特征值与特征向量在人口迁移问题中的应用，培养学生应用知识解决实际问题的能力.本文将课程思政元素与线性代数相结合，在教学实践中落实立德树人的任务.

【关键词】特征值;特征向量;课程思政元素

本文以线性代数中“矩阵的特征值与特征向量”这一节教学内容为例，从学情分析、教学目标、教学重难点和教学过程这四个方面设计教学模型，在教学实践中落实立德树人的任务.

一、学情分析

线性代数是高校理工类、经济管理类专业必学的一门公共课，它为学生今后的专业课学习提供必需的数学知识，同时培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、空间想象能力以及用所学知识分析、解决实际问题的能力.方阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在方阵的对角化、微分方程组的求解和工程技术中的振动等问题中都有着重要的应用.

本节课授课对象为大二年级理工类、经济管理类学生，他们已经学习了高等数学的相关知识.他们的优势是年轻、专注、有梦想，动手操作能力强，劣势是抽象思维能力、空间想象能力不足，数学应用能力弱，尤其对纯数学概念的学习缺乏兴趣.

二、教学目标

知识目标：让学生理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质;掌握方阵的特征值与特征向量的求法.

能力目标：在特征值和特征向量的求法教学中，使学生的计算能力得到进一步提高.

情感目标： 在教学的过程中渗透变形法的数学思想，提高学生的应用意识以及“立体”的学习习惯.

三、教学重难点

教学重点：特征值与特征向量的概念、求法和应用.

教学难点：特征值与特征向量的求法.

四、教学过程

（一）复习预备知识

教学设计：课前复习的作业是本节课要用到的知识，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出重点;同时也是本着“笨鸟先飞”的原则，使计算能力较差的学生提前练习，达到复习的目的，保障课堂教学任务的完成;通过计算和观察增加对特征值和特征向量的感性认识，达到分散难点的目的.

（二）课题引入

引例（人口迁移模型） 假设一个省的总人口是固定的，人口的分布因居民在城市和农村之间迁徙而变化.假设每年有5%的城市人口迁移到农村（95%仍留在城市），有12%的农村人口迁移到城市（88%仍留在农村），记ri，si分别表示第i年的城市与农村人口数，则ri+1=0.95ri+0.12si，si+1=0.05ri+0.88si，将该方程组写成矩阵方程的形式：xi+1=Axi，其中迁移矩阵A=0.950.120.050.88，xi=risi.设海南省2010年的人口分布为x0=500000780000，计算海南省2030年的人口分布.

教学设计：采用问题驱动法，由人口迁移问题，设想：（1）将迁移矩阵转化为对角矩阵？这个方法的实施感觉很渺茫;（2）能否将迁移矩阵线性化呢？继续寻求解决问题的思路，培养学生分析问题和解决问题的能力.在作业题第（1）题中：AX=2X，左边是矩阵相乘的非线性运算，右边是数乘矩阵的线性运算，它启发我们可以将非线性运算简化成线性运算，由数2乘向量X等于矩阵A乘向量X，也就是说，数2具备矩阵A的特征，我们就把数2称为矩阵A的特征值，非零向量X称为矩阵A的属于特征值2的特征向量.从直观的例子出发，让学生理解了特征值和特征向量的概念.再从2阶推广到n阶，引导学生构造出特征值和特征向量的一般概念.

（三）特征值与特征向量的概念

定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零向量X，使AX=λX成立，则称数λ为方阵A的特征值，非零向量X称为A的对应于特征值λ的特征向量（或称为A的属于特征值λ的特征向量）.

说明：（1）A是方阵;（2）特征向量是非零向量;（3）特征向量与特征值是对应关系.

教学设计：采用启发式教学，引导学生构建特征值与特征向量的概念，达到分散难点的目的，也培养了学生的创造力.通过三点补充说明，培养学生严谨的科学态度.特征值和特征向量在振动、经济学等领域有着重要作用.例如，用乐器演奏音乐时，需要对乐器进行调音，使得各种乐器的频率相匹配，才能演奏出动听和谐的音乐，这里的频率就是特征值.和谐的东西是美的，和谐的社会是稳定的，我们应勉励学生努力践行社会主义核心价值观，共同维护当今来之不易的和谐文明社会，提醒学生要审慎地看待自己与身边人的关系，与社会的关系，牢牢树立和谐的观念，促进学生全面和谐的发展.

（四）特征值与特征向量的求法

有了特征值和特征向量的概念之后，学生会产生疑问：（1）方阵A的特征值是否唯一？（2）属于特征值λ的特征向量是否唯一？（3）如果不唯一，如何求方阵A的所有特征值和特征向量？下面，我们来回答这些问题.

由定义可知：AX=λXλX-AX=0λE-AX=0有非零解λE-A=0.

按照上面的分析，我们得出求特征值和特征向量的思路.

（1）求特征值：求解特征方程λE-A=0的根;n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.

（2）求λi的特征向量：齐次线性方程组λiE-AX=0的每个非零解都是方阵A的属于λi的特征向量;它的全部非零解即为方阵A的属于特征值λi的全部特征向量.

例1 求A=1102的特征值和特征向量.

對比我们求得的方阵A的属于特征值λ2=2的特征向量ξ2=11和作业题第（1）题中找到的特征向量x1=11，可以验证我们的求法正确.由例1可以引导学生给出求n阶方阵A的特征值和特征向量的步骤：

（1）计算特征多项式λE-A，求特征方程λE-A=0的根，即为A的全部特征值;

（2）对每个不同特征值λi，求齐次线性方程组λiE-AX=0的基础解系ξ1，ξ2，…，ξn-r（r=r（λiE-A）），则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r （k1，…，kn-r不全为0），即是方阵A的属于特征值λi的全部特征向量.

例2 求矩阵A=3-1-220-22-1-1的特征值和特征向量.

教学设计：采用研究式和启发式教学法，引导学生给出求n阶方阵A的特征值和特征向量的步骤.求特征值的关键是计算行列式，而行列式的计算我们在第一章学过.求特征向量的关键是求齐次方程组的基础解系，而基础解系的求解我们在第三章学过，从而达到用旧知识解决新问题的目的，分散本节课的难点.例2中行列式的计算可利用作业第二题的结果，简化课堂黑板板书运算过程.由λX-AX=0（λE-A）X=0，可以看到单位矩阵E在矩阵运算中起着“雷锋”的作用，可引导学生树立正确的人生观，我们要做单位矩阵式的人，低调做人，认真做事，做一个有思想有抱负的人，在祖国和人民需要的时候做出应有的贡献.

（五）应用

回归起点，解决开始提出的问题，让学生完整体会科学研究中提出问题、分析问题和解决问题的全过程.

教师提问：随着时间的流逝，预测海南省人口分布是否会趋于稳定？

教学设计：采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，继续深化知识，研究解的稳定性.再次提到稳定的社会也是和谐的社会，勉励学生努力践行社会主义核心价值观.

（六）小结

特征值可以取代特征向量，让我们的世界变得简单;特征向量并不因此产生“嫉恨”，用它包容和博大的胸怀，协同特征值改变了世界，数学的美体现了人性的真善美.其实，它们的魅力不仅如此，在后面“相似矩阵”和“对角矩阵”中它们联手作战，将n阶方阵推向一个又一个高潮.如果你对它们感兴趣，就努力从特征值和特征向量做起吧，从做那个对了的特征值开始，去储藏更大的能量，为对了的事业做出自己的贡献.

【参考文献】

[1]崇金凤，卓泽朋.方阵的特征值和特征向量[J].洛阳师范学院学报，2015，34（11）：24-26.

[2]刘素兵，曲娜，曹大志.关于特征值与特征向量教学的探讨[J].高师理科学刊，2017，37（10）：62-65.

[3]同济大学数学系.工程数学：线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.