微元法求空间曲线和曲面的转动惯量

孙翠先 陈贵清

【摘要】本文应用微元法给出了密度不均匀的空间曲线和曲面绕坐标轴的转动惯量的计算公式，并给出了计算实例.

【关键词】微元法;密度;曲线;曲面;转动惯量

数学能够培养学生认识问题、解决问题的能力，是一切科学和技术的基础，它正日益成为解决实际问题的工具类学科，并向各个领域延伸.随着高新技术的发展，学校提倡提高学生的科学素质，培养学生的思考习惯，目的是使学生能够应用所学数学知识自己动手解决一些实际问题.

很多数学、物理、力学中的量，比如不规则平面图形求面积、空间曲面求面积、平面曲线求长度、空间曲线求长度、平面金属薄片求质量、平面金属薄片绕轴求转动惯量、求物体的质量和质心、求变力对物体所做的功、物体间的引力等，都需要用微元法解决.

一般地，能用微元法解决的问题具有以下特征.首先，所求的量中自变量控制在一定的区间内，自变量分属各个小区间时所求的量对小区间具有可加性，即每个小区间分量之和为总量，这样的量有面积、体积、长度、质量、转动惯量、功、引力等.其次，构造在某一小区间上所求量的微分表达式，即微元.此步微元的得出是由物理力学问题构造的.最后，在讨论的自变量区间上對微元积分，即可得所求的量，通过化成计算定积分或二重（三重）积分可得结果.

但对初学者来讲，尤其是大一大二的学生，理解微元法比较困难，不容易掌握其要领，主要原因是构造所求量的微元表达式会有困难，无从下手.

教师讲授时可采用如下具体做法.首先，结合学生所学专业的特点，筛选出专业课程与数学课程知识的契合点，规划教学中的例题，为后续学习专业课打基础，提供数学思路.这种做法能够使教师的教案“活”起来，发挥其应有的作用.其次，理论与实际相结合，进一步使数学与专业课程有机衔接，通过分析实际工程问题建立数学模型，应用微元法解决实际问题.这样做能够吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，让学生感到耳目一新，提高上课效率.最后，结合专业特点，制订合理的课后作业，鼓励学生进行专业探索.这也是课堂教学的延伸和继续，可帮助学生理解一些数学中的抽象概念和理论.

本文以求分布密度不均匀的空间曲线和空间曲面绕坐标轴的转动惯量为例，介绍了微元法的应用，涉及的数学计算有空间曲线积分和空间曲面积分.

刚体绕轴转动时形成的转动惯量记为I，由力学定义知，I=mr2，这里m是质量，r是到转轴的距离.

首先找到密度不均匀的空间曲线和曲面的质量微元，也可以叫作元素，然后写出绕坐标轴的转动惯量微元，求相应空间曲线和曲面积分即可求出转动惯量.

1 空间曲线对坐标轴的转动惯量

2 空间曲线转动惯量实例

3 空间曲面对坐标轴的转动惯量

5 结束语

本文介绍的求密度不均匀的空间曲线和曲面对坐标轴的转动惯量的方法，同样适用求密度不均匀的平面曲线和平面区域对坐标轴的转动惯量.

【参考文献】

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学：第8版[M].北京： 高等教育出版社，2003.

[2]同济大学数学系.高等数学：下册：第7版[M].北京： 高等教育出版社，2015.