方阵的特征值与特征向量教学设计

卢勇

【摘要】本文主要研究方阵的特征值与特征向量的教学设计.首先，通过相似矩阵引入了方阵的特征值与特征向量.其次，给出了方阵的特征值与特征向量的具体求法.最后，将思政元素融入教学内容，让课堂内容更加丰富.

【关键词】特征值;特征向量;教学设计

1 引 言

矩阵是线性代数中的重要知识点，关于矩阵的相关性质一直以来也是我们关注和学习的重点.方阵的特征值与特征向量是矩阵的重要研究内容之一，涉及相似对角化、化二次型为标准型及正定二次型等问题.本文主要为大家呈现方阵的特征值与特征向量的教学设计，目的是同大家交流如何才能教好方阵的特征值与特征向量这一课.

2 教学过程

2.1 问题引入

首先，我们回顾相似矩阵的概念：

定义1[1] 设A与B是两个n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得：C-1AC=B，

就称矩阵A与B相似，记为A～B.

通过相似矩阵内容的学习我们知道，相似矩阵具有很多相同的性质，比如相同的秩、行列式及迹等.因此，当我们研究一个矩阵A的某些性质，比如秩或行列式时，就可以借助其相似矩阵来研究.当然，我们希望所选取的与A相似的矩阵的形式越简单越好.主对角阵可以说是形式上比较简单的一种矩阵.设：

反之，如果一个矩阵A满足Aξi=λiξi，i=1，2，…，n.由Aξi有意义，可知A的列数等于n.再由等号成立，可知A的行数也等于n.因此，满足这一式子的矩阵A只能是方阵.综合上面的讨论，就引出了我们今天要研究的方阵的特征值问题.

则称λ是A的一个特征值，ξn就是属于特征值λ的一个特征向量.

根据特征值与特征向量的定义，我们做如下简单分析：

1.首先需要强调的是特征向量都是非零向量.如果ξn是零向量，那么对于任意的数λ都有Aξn=λξn.这样的讨论无意义.

2.其次，一个方阵的特征值可能不止一个，而属于特征值λ的特征向量也可能不止一个.比如，对于方阵A，设λ是A的一个特征值，ξn是属于特征值λ的一个特征向量.对于任意一个不为零的常数k，有因此由特征值与特征向量的定义可知kξn也是A的属于特征值λ的特征向量.

3.同时，我们也发现，若ξ1，ξ2是A的属于特征值λ的特征向量，则有k1ξ1+k2ξ2也是A的属于特征值λ的特征向量，其中k1，k2不全为0.理由如下：

4.特别地，如果方阵A=0，则Aξn=0ξn=λξn，由于ξn是非零列向量，所以A的特征值只能是0，即零矩阵的特征值只能是0，且任意的n维非零列向量都是属于特征值0的特征向量.

5.当n阶方阵A不可逆时，|A|=0，所以以方阵A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0有非零解，由特征值与特征向量的定义我们知道0是A一个特征值，且任一n维非零列向量都是属于特征值0的特征向量.

从上面我们能够看出一些特殊矩阵的特征值与特征向量，但是对于一般的方阵，我们该如何求它的特征值与特征向量呢？下面，我们将围绕该问题展开探究.

2.2 特征值与特征向量的求法

我们从定义出发.设λ1是A的一个特征值，ξ是属于特征值λ1的一个特征向量，则有Aξ=λ1ξ，即（A-λ1E）ξ=0，从而齐次线性方程组（A-λ1E）x=0有非零解ξ，我们可得|A-λ1E|=0.

反之，如果|A-λ1E|=0，则以A-λ1E为系数矩阵的齐次线性方程组（A-λ1E）x=0有非零解，不妨设ξ是其中一个非零解，则有（A-λ1E）ξ=0，变形可得Aξ=λ1ξ，由定义可知，λ1是A的一个特征值，ξ是属于特征值λ1的一个特征向量.

通过上面的分析我们可以得到一个判定一个数是否是方阵的特征值的定理.

定理1 设A是n阶方阵，则数λ1是A的特征值的充要条件是：

定理1 的简单应用：由定理1我们可以知道若A+E不可逆，则-1就是A的一个特征值.

当然，我们也可以将|A-λ1E|=0写成|λ1E-A|=0.那么，当λ1是一个变量的时候，不妨写为λ，由行列式的定义我们知道|λE-A|是一个关于λ的n次多项式，为了方便起见，我们可以称其为矩阵A的特征多项式，并记为fA（λ）.因此，由定理1我们知道，A的特征多项式的根就是A的特征值.下面，我们来讨论如何求特征向量.

当我们求出fA（λ）的一个根即矩阵A的一个特征值λ1时，我们知道fA（λ1）=0，即|λ1E-A|=0，所以，以λ1E-A为系数矩阵的齐次线性方程组（λ1E-A）x=0有非零解ξ，这个ξ就是属于特征值λ1的一个特征向量.由上面的讨论我们知道，对于任意一个非零数k，kξ也是属于λ1的特征向量.因此，我们知道求所有属于特征值λ1的特征向量，就是求齐次线性方程组（λ1E-A）x=0的一个基础解系，比如ξ1，ξ2，…，ξs，则属于λ1的特征向量就为k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，其中k1，k2，…，ks是不全为0的任意常数.

综上所述，我们給出一般的求矩阵A的特征值与特征向量的方法.

求特征值与特征向量的步骤：

1.计算fA（λ）=0的所有根，即属于矩阵A的所有特征值.

2.对于A的每个特征值λ1，求出齐次线性方程组（λ1E-A）x=0的一个基础解系，不妨设为ξ1，ξ2，…，ξs，则属于特征值λ1的所有特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，其中k1，k2，…，ks是不全为0的任意常数.

下面，我们将通过具体实例，来求出矩阵的特征值与特征向量.

例1 设A=-110-430102，计算A的特征值与特征向量.

解 A的特征多项式：

fA（λ）=|λE-A|=λ+1-104λ-30-10λ-2.

按第3列展开，计算行列式可得fA（λ）=（λ-2）（λ-1）2.因此矩阵A的所有特征值为λ1=2，λ2=λ3=1.

对于特征值λ1=2，计算齐次线性方程组（λ1E-A）x=0，即：

3-104-10-100x1x2x3=0的一个基础解系为ξ1=001.因此，属于特征值λ1=2的所有特征向量为k1ξ1，其中k1是不为0的任意常数.

对于特征值λ2=λ3=1，计算齐次线性方程组（λ2E-A）x=0，即：

2-104-20-10-1x1x2x3=0的一个基础解系为ξ2=-1-21.因此，属于特征值λ2=λ3=1的所有特征向量为k2ξ2，其中k2是不为0的任意常数.

2.3课堂小结与思政

本节课我们主要通过相似矩阵引入方阵的特征值与特征向量.通过特征值与特征向量的定义，我们分析了几类特殊方阵的特征值与特征向量.同时，我们也给出了求方阵特征值与特征向量的具体方法.通過相似矩阵的学习，我们知道相似矩阵具有许多相同的性质，当研究一个矩阵的某些性质时，我们可以先研究与该矩阵相似的在形式上较简单的矩阵.在生活中，我们要善于发现问题脚踏实地，刻苦钻研，从而不断进步，不断成长，最终实现人生价值.在下一节课，我们将给出更多关于矩阵特征值与特征向量的结论.其中涉及矩阵的特征值与矩阵自身之间的关系，如：

定理2 设A是n阶方阵，A有n个特征值λ1，λ2，…，λn，则：

（1） λ1+λ2+…+λn=tr（A）（矩阵A的迹，即主对角元素之和）.

（2） λ1λ2…λn=|A|.

以及矩阵多项式的特征值与矩阵的特征值之间的关系.关于定理2请大家课后思考，我们下节课再一起学习.

【参考文献】

[1]蒋永泉，贾志刚，黄建红.线性代数[M].上海：上海交通大学出版社，2018.

[2]同济大学数学系.工程数学线性代数（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.