以语言提升为载体，培养学生的空间观念——《三角形的认识》教学设计

文|方义伦

【教学内容】

苏教版四年级下册第75、76 页。

【教学目的】

1.在探索三角形特征的过程中，掌握三角形的特征，会画三角形底边上的高，并能运用所学知识解决有关实际问题。

2.在观察、探索、交流等活动中，培养学生观察、抽象、概括的能力，发展其数学思维。

3.感受数学与生活的联系，进一步激发学生的学习兴趣。

【教学重点】掌握三角形的特征，会画指定边上的高。

【教学难点】画不同底边上的高。

【教学过程】

一、在经历过程中理解三角形的概念

1.联系生活，初步感知三角形。

师：新中国成立以来，发生了翻天覆地的变化，2018年10月24日正式通车的港珠澳大桥，连接香港、广东珠海和澳门。它就是中国国家综合国力体现的标志性建筑。在这座大桥上就有我们今天要学习的老朋友——三角形。你能从图中找出来吗？指给你的同桌看一看。（出示图片，教师指名学生上台指一指）

师：生活中还有哪些地方见过三角形？（学生自由发言）

师：老师也找了一些生活中的三角形，一起来欣赏一下。为什么生活中有这么多三角形？看来这位老朋友身上有许多的奥秘需要我们一起去研究。从今天起，我们一起再次认识这位老朋友。（板书课题）

【设计意图：本课从欣赏港珠澳大桥开始，培养学生的民族自豪感。同时在这样伟大的建筑中去发现三角形，体会三角形的重要性。学生指一指大桥中的三角形、说一说生活中的三角形以及教师给出补充的三角形素材，唤醒了学生内心深处三角形的表象，为后面理解三角形的概念做好了认知上的铺垫。】

2.对比辨析，掌握三角形的内涵。

师：同学们想一想三角形在你的心目中是什么样子的？想好了在作业纸上画一画。

师：你们画得非常好，老师也想画一画。谁来告诉我该怎么画？

生：先画三个点，再画三条线。

师：是这样吗？（如图1）

图1

生：不对！三条线必须是直的。

师：直直的线。我们认识了直线、射线和线段，你指的是什么？

生：三条线段。

师：大家同意吗？老师把它记下来。（板书：三条线段）

师：是这样吗？（如图2）

图2

生：不对，应该是连起来的。第三条线段必须和第一条线段连起来。

（教师指名学生上台指一指）

生：线段有两个端点，第一条线段的一个端点和第二条线段的一个端点相连，第二条线段的另一个端点和第三条线段的一个端点连起来，第三条线段的另一个端点和第一条的另一个端点连起来。

师：我明白你的意思了。你是说每条线段的两个端点分别是首和尾，第一条线段的尾点与第二条线段的首点连在一起，第二条线段的尾点与第三条线段的首点连在一起，第三条线段的尾点必须与第一条线段的首点连在一起。三条线段就这样围起来，是吗？（全班同意）数学上我们称为“首尾相接”。（教师板书）

师：现在你能说一说什么样的图形才叫三角形吗？

生：三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形。

（教师根据学生的发言完成板书，并再次指名说一说和同桌互说）

师：这里有一些图形，哪些是三角形？哪些不是？为什么？

【设计意图：学生对于三角形的描述表达方式是多样的，而每种不同的表达体现了学生的几何思维水平。学生一开始能够根据生活中的三角形的表象用图形语言画出一个三角形，说明学生的思维停留在直观认识阶段，他们还无法真正理解三角形的内涵。通过学生教老师画三角形，用学生画出的正例和教师“故意”画出的反例，让学生自主辨析，充分认知三角形的两个重要内涵：三条线段和首尾相接，并且引导学生用精准的文字语言进行表达，从而让学生的几何思维发展水平达到了描述、分析阶段，最后让学生用三角形的概念去进行判断，用数学眼光进行分析，固化了学生描述、分析的思维发展水平。】

3.观察总结，归纳三角形的特征。

师：认识一个图形，还得知道它各部分的名称（指着图形）：围成三角形的三条线段称为三角形的边，线段的端点称为三角形的顶点，一个顶点和两条边形成三角形的一个角（手势遮挡）。现在请在你的三角形中标出边、顶点、角，并且说一说有多少边、顶点和角。

（学生独立完成后上台指一指、说一说）

（教师板书：三角形有3 条边、3 个角和3 个顶点）

师：每条线段有2 个端点，三条线段不是应该有6 个顶点吗？

生：应该有6 个顶点，但是三条线段首尾相连，每2 个端点会重合在一起，所以只有3 个顶点。

师：三角形有3 个顶点，那么是不是任意3 个点都能画出一个三角形？方格纸中有4 个点（分别标上A、B、C、D），任选3 个作为顶点，都能画一个三角形吗？试一试，你有什么发现？

（学生根据自己的操作发现B、C、D 在一条直线上不能画出一个三角形：其他不在一条直线上的任意三个点都能画出三角形）【设计意图：在初中数学教材中，三角形被定义为“不在同一条直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形”。这一定义比小学数学教材给出的定义更加严密，强调了“不在同一条直线上”这个前提条件。如何让小学生也能够意识到这点呢？学生通过亲自动手操作实验、画一画，能够感受到并且将这种体会清楚地表达出来。这样的认识说明学生的思维稍微涉及到形成抽象的思维发展水平，即能够用文字语言完整地区分概念的必要条件和前提条件。】

二、直观抽象，理解三角形的底和高

1.从具体实物认识生活中高的内涵。

师：（出示人字梁的建筑物图片，图略）这是建筑物上经常使用到的人字梁，它能够承载更重的物体，保证屋顶的安全。刚刚从人字梁上我们认识了老朋友——三角形，工人师傅想知道图中人字梁的高度。应该量哪条线段呢？同桌互相在学习材料上指一指，说一说理由。

生：（上台指一指）应该是这条线段，因为这个点最高，所以从这里开始。

师：有道理。最高的这个点在三角形中就是顶点。（板书：一个顶点）

师：（指着斜边）为什么这条线段不行？

生：这里不是90°，说明这条边和下面的边不是互相垂直。

师：人字梁的高度不仅需要从最高点出发，还得符合一个什么条件？

生：从最高点出发的线段和这条线段互相垂直，是90°才可以。

师：这条线段就是这个顶点的对边。什么样的线段才能表示人字梁的高度呢？

生：当然是中间这条线段，因为它符合两个条件，一个是从最高点出发，一个是对边的垂直线段。

师：人字梁的高度就是从它最上面的顶点到对边的垂直线段。那这条线段是不是垂直于这条边，请同学们用三角尺验证一下。

（通过三角尺比一比，发现是90°，说明这条线段完全符合两个条件，就是人字梁的高度。通过测量得出是2 厘米）

（教师将人字梁外框中的三角形抽象出来）

2.在几何图形中表达数学意义上高的内涵。

师：你能尝试着画出三角形的高吗？

（学生画完之后，教师在学生的“引导下”，先找到最高的顶点和对边，再用三角板画出经过顶点的对边的垂直线段，最后标出垂直标志）

师：（课件隐去三角形另外两条边）你们有没有发现这条线段就是之前我们学过的什么内容？

生：过直线外一点画直线的垂直线段。

师：掌声送给他。这位同学一下子明白了这里的高就是四年级上册学过的过直线外一点画直线的垂直线段。特别温馨提醒：这条线段一定要用虚线。

师：同学们不要小瞧了这条线段，它是三角形中非常重要的一个知识点——三角形的高。你们说一说什么样的线段才是三角形的高呢？

生：符合两个条件：必须经过顶点，必须是向对边画出的垂直线段。

师：说得真好，一下子抓住了三角形高的主要特点，掌声送给你们。在数学上，三角形的高就是从三角形的一个顶点到对边的垂直线段。这条对边就是三角形的底。请同学们标直角标志的同时写出高和底。

师：对照一下你们的高画对了吗？有没有标注清楚？自己订正。同桌互相说一说什么是三角形的底和高。

【设计意图：三角形高的认知是学生学习的难点，它和生活中的高既有联系又有区别，学生在认识上会产生矛盾和冲突。正如郑毓信教授所说：学生关于同一数学概念，内在表征中的各个成分往往没有构成一个整体，在这些不同成分之间还常常存在一定的矛盾，特别是以前已建立的朴素的认识，往往与概念的严格定义直接相矛盾。为此应该充分利用学生先前朴素的认识——人字梁的高度，挖掘学生认识中的闪光点和价值所在，即从最高的顶点出发以及必须和底边垂直，将学生的认识进行提炼概括，上升为抽象的认识水平，从而培养学生用数学的眼光看问题。同时从人字梁中抽象出三角形，并将人字梁的高画出来，在此基础上教师提出高和底的概念，学生的思维水平就会从具体形象思维向抽象概括思维进行提升，从而产生了高和底的真正认知，这样的深度真实学习得出的理解是深入骨髓的。】

3.在动手操作中掌握画高的方法。

师：老师昨天把画高的过程拍成了微课，请同学们看一看老师画高一共分为几个步骤？

（教师根据学生的回答分别板书“找、画、标”三个字）

师：这里有三个三角形，画出底边上的高。不明白的同学举手示意。（学生独立画高后全班交流）

师：这三个三角形在画高时有什么不一样？

（教师引导学生发现三条高的不同，第一个三角形的高和人字梁的高是一样的；第二个三角形的高由于顶点在下面，高就画在底的下面；第三个三角形是直角三角形，因此两条边分别是三角形的底和高。教师要求学生同桌互相指一指一副三角板上的底和高分别在哪里）

4.在拓展延伸中领悟高的内涵。

师：三角形能画出几条高呢？猜一猜。

生：无数条高。

生：应该有三条高。三角形有三个顶点，每个顶点向对边都能画出一条高，三个顶点就能画出三条高。

师：我们画一画，验证一下对不对。（课件展示画三条高的过程）你有什么发现？

生：三角形能画出三条高，并且三条高还相交在一个点上。

生：三角形的三条高和三个底是对应的，不能搞乱了。

师：后面两个三角形的三条高在哪里呢？课后可以组建学习小组一起画一画，研究研究，相信你一定会有大收获。

【设计意图：认识人字梁的高让学生对三角形的高有了空间知觉，经过动手操作画图和抽象概括，产生了高的空间表象，如何让空间表象发展到空间想象，需要教师引导学生在变式中理解高的本质。学生通过动手操作实验（动作直观）发现不论改变三角形的形状、底的位置，还是画出一个三角形所有底边上的高等，高就是顶点到对边的垂直线段，这样从实物识别、图形识别再到变式识别，学生经历空间知觉、空间表象再到空间想象，最终慢慢培养了空间思维能力。】

三、总结反思，梳理三角形的认识体系

师：观察老师的板书，你有什么收获？关于三角形，你还想了解什么新知识？

师：这些新知识都是同学们自己通过观察、画图、比较等方法总结出来的。真了不起，给自己一些掌声。

四、作业设计，拓展数学学习的广度

师：给自己的老朋友——三角形写一封介绍信，可以将课上对他的了解和课后对他的研究全部写进去，让同学、家长对三角形有更多更深的了解。

【设计意图：学生可以对三角形的认识形成知识体系，课堂总结环节教师的引导作用非常重要。先通过板书的作用回顾课堂对三角形的收获，再激发学生主动思考三角形还有哪些相关知识，为学生课后学习拓展提供了方向。最后写介绍信的实践作业就是将上课的知识点和课后延伸的知识点通过学生自己独有的方式形成知识体系，就像是将珍珠串成项链的“线”，有了“线”学生的认识就会联结成一张网，让学习变得更加有张力。】