超越直觉 展开推理——《轴对称图形》教学案例

文|黄 建

【教学内容】

浙教版四年级下册第64 页。

【教学过程】

一、生活情境，初步感知轴对称图形

1.游戏导入。

出示游戏规则：请你用A4 纸摆出或者折出相应的图形即为穿墙成功。

2.对比提炼。

出示图片：它们有什么共同的特点？

追问：如果我们把这些图案画在纸上，你打算怎样来验证它们是对称的呢？

生：（演示）我把这张纸对折，两边是一样的。

生：两边还要重合，就是一点也没有多出来的部分。

小结：我们把这种现象称为完全重合。展开后留下一条折痕，为了让大家看得更清楚，我们把折痕画下来。剩下的这些图形中，你们也能找到那条折痕，使得对折后两边能够完全重合吗？

3.初步推理。

师：对于正方形，你能找到几条这样的折痕呢？

生：正方形的折痕有四条，分别是横竖各一条、斜着两条。

师：刚才你们都说到了下图这条折痕。不对折，你怎么说明对折后两边能够完全重合？

生：左边是8 格，右边是8格。面是一样大的。

生：AD 与BC 都是4 格，边与边能够完全重合。角B 与角A 是直角，角与角能够完全重合。

生：点A、B 到对称轴的距离都是2 格，A 与B 能够完全重合。

师：像这样的点还有吗？

生：我发现这样的点有无数个。

师：（动画演示）刚才我们从面、边、角、点来说明。如果现在想让AB 边与DC 边完全重合，你觉得折痕在哪里？

4.得出概念。

师：通过刚才的研究，你有什么发现？

生：它们都能找到一条折痕，使得图形沿着这条折痕对折后两边能够完全重合。

师：像这样，对折后两边能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形。我们将这条折痕所在的直线叫做这个图形的对称轴。

【设计意图：学生识别轴对称图形并不难，但能真正理解和概括轴对称图形的概念本质却需要教师指导、交流。通过游戏、操作、验证、对比四个环节，督促思维层层递进，逐级抽象，生成概念性理解。注重从学生的实际情况起步，从生活走向数学，从图案走向图形，从直觉走向论证。学生的回答分别从数学的“面、边、角、点”来切入，正体现出从整体知觉到要素分析的思维进程，为进一步深入研究做好准备。】

二、合作探究，判断中理解轴对称图形

1.任务驱动：除了正方形，其他平面图形如：长方形、平行四边形、三角形是轴对称图形吗？

2.合作要求。

（1）组间讨论：每组选择一类图形。

（2）独立思考：先画出图形，并且判断；如果是轴对称图形，画出它的对称轴。

（3）组内交流：我研究的是___________________________，我认为它____轴对称图形，它有______________条对称轴。

我的依据是_____________。

3.全班交流。

（1）长方形——从操作走向推理。

生：我们小组研究的是长方形，我们认为它是轴对称图形，有两条对称轴，当长方形是正方形的时候，有四条对称轴。

生：我认为所有的长方形都有四条对称轴。斜着的两条也可以。角A 和角C 能够完全重合，它们都是90 度。

生：虽然角的大小是一样的，不代表它们能够完全重合，你们看我们小组用纸折了一下。

生：AB 和BC 这两条边都不一样长，AB 是4 格，BC 是6 格，对折后边与边不可能完全重合。

生：虽然B 与D 到对称轴的距离是相等的，但是垂线不在一条直线上。

生：看来，沿着AC 对折，角D与角B 虽然一样大，但是D 与B不能完全重合。（2）平行四边形——在想象中推理。

生：我们组研究的是平行四边形，我们认为平行四边形是轴对称图形，它有四条对称轴。

①重点突破。

生：我画了一个图形。对边是相等的，上下对折就可以了。

生：我觉得不对。这样对折，角A 是锐角，角D 是钝角，角A与角D 不能完全重合。上下对折，A 点应该在D 点左边一格。

②同类推理。

师：还有一些同学是这样想的，你觉得有道理吗？选择一幅图来说说看。

生：我认为左右对折不可以，左右对折角C 是锐角、角D 是钝角，点C 与点D 也不能完全重合。

生：我觉得沿着AC 对折两边是可以的，两边一样大。

生：这样对折两个角不能完全重合。角是一样大的，如果它是对称轴，那么BC 边应与DC 边完全重合。我量了一下，CD 是3.7 厘米，BC 是3 厘米，不一样长。

生：完全重合不仅对应的边一样长、对应的对角也要一样大。

生：我还有其他想法，过点B与点D 作垂线，虽然距离是一样的，但是不在一条直线上，对折后两个点就不能完全重合。

③小结反思。

师：那现在我们是不是可以说平行四边形不是轴对称图形？

生：我觉得我们还可以再找找折痕，如果找不到就不是轴对称图形。

生：我有补充，我觉得有些平行四边形是轴对称图形。

生：我想到了一个，只要四条边一样长就可以了。

师：你们能想象出他说的平行四边形吗？像这样特殊的平行四边形它有几条对称轴？

生：锐角与锐角完全重合，钝角与钝角完全重合。有两条对称轴。

（3）四边形——在对比中推理。

师：刚才我们研究了这些四边形。从这些例子中，你觉得对称轴的条数与什么有关？

生：与边的长短有关。正方形和长方形的四个角都是90 度，但是长方形只能长和长或者宽和宽完全重合。正方形四条边都相等，它就有四条对称轴。

生：我觉得还和角的大小有关。菱形和正方形都是四条边相等，菱形只能是锐角（钝角）和锐角（钝角）完全重合，而正方形四个角都是直角。所以我觉得正方形很特殊，它有四条对称轴。

（4）三角形——在变化中推理。

师：四边形对称轴的条数与它的边与角有关，那三角形呢？黄老师还收集到一些作品，你能读懂它们吗？

生：等边三角形很特殊，三条边和三个角都相等，它有三条对称轴。

生：等腰三角形的两条腰是相等的，它有一条对称轴。但是一般的三角形边、角都不相等，对折后两边不能完全重合。

师：他们说的意思你们同意吗？你看这是一个正三角形，指一指它的对称轴。如果它的形状变一变，对称轴发生了什么变化？

生：我发现三角形在变化过程中边与角发生了变化，对称轴的条数也就发生了变化。

师：看来，我们判断一个图形是否对称，可以从边、角来考虑。

师：如果让你继续研究，你还打算研究什么？

【设计意图：以长方形、平行四边形、三角形为对象，层层递进地开展研究。长方形，先判断，再操作验证，结合视觉形象反思对称要素：点的位置、边的长度、角的大小；平行四边形上升到表象操作，抓住点、边、角想象对折后的情况，并尽量用数学的语言表述空间推理的过程；三角形更是从静态走向动态，想象图形变化时边与角的变化对其对称性的影响。学生在操作、想象、变化等情境中提升对轴对称概念的理解和掌握水平，发展空间观念和说理能力。】

三、创造图形，内化轴对称图形

1.出示要求。

师：接下来，我们利用学过的知识来创造一个轴对称图形。

2.全班交流。

生：（交流第一幅图）每一个点我都找到了它对称的那个点，连起来就可以了。

师：这些图形来源于我们的生活，猜猜分别是什么？

【设计意图：数学来源于生活，应用于生活。在画图形的过程中进一步强化概念理解，思考对应面重合、对应边及对应角重合，以及对应点重合之间的关联，突出对称概念的本质。】

四、总结（略）