多维表征，建构分数意义

施蒙蒙 周兴苗

[摘  要] 分数是小学阶段学生数学学习中重要的知识内容，分数意义的理解是学生数概念发展的基石。文章基于分数定义的剖析、教材研读和学情分析，制定了“感知—具化—深化”三个维度的教学环节，从学生的已有知识和经验入手， 通过多维表征的含义，引导学生经历数学抽象的过程，深刻理解单位“1”，正确构建分数的意义，为学生后续更好地学习奠定基础。

[关键词] 多维表征;建构;分数意义

■一、课前思考

分数是小学阶段学生数学学习中重要的知识内容，分数定义的理解是学生数概念发展的基石，也为日后学习分数的计算及应用奠定基础。分数该怎样定义呢？虽众说纷纭，但较为集中认定的是张奠宙教授概括的如下四种。一是份数的定义：把一个“整体”平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示。二是商的定义：两个整数相除的商（除数不能为0）。三是比的定义：分数是整数p与整数q（q≠0）的比。四是公理化定义：分数就是有序的整数对（p，q），其中q≠0。另外，史宁中教授认为，分数的两个作用是作为一种有理数参与运算和以比的形式出现的数，分数的本质在于它的无量纲性;而刘加霞博士则认为，分数是分数单位累加的结果，是先分再数的数，这样就将整数与分数沟通起来了。

总而言之，分数的定义是多样性的。要正确理解分数，就要试着去理解分数定义的多样性。人教版小学数学教材中，分数的教学分为两个阶段安排。三年级学习分数的初步认识，学习分数的“份数定义”，五年级引入分数的“商的定义”，而对于比的意义和公理化在小学阶段并未明显涉及。分数定义的多样性意味着我们在促使学生理解分数的意义时，不是一节课能完成的，它应该是一个系统的、庞大的过程。每一堂课都应成为这一个工程中的一环，一环紧扣一环，才能促使学生最终形成自己的理解。

本文的“分数的意义”是五年级下册“分数的意义和性质”单元的起始课时，它是对学生三年级时分数定义的提升，又是开启商的定义学习的序幕。因此，这一堂课在三年级和五年级的学习中起着承上启下的作用，本课是进一步打开分数理解的大门。

■二、实践与评析

结合对教材的分析与学生的解读，笔者认为，本课要做的是对经验进行理性提升，使得零散的分数理解走向系统体系。首先，我们要实现的是对单位“1”的完整理解。要将学生脑海中零散的对象聚类，同时要扩展学生对单位“1”的认知。要让学生认识到：一个图形、一个物体、一个计量单位、多个物体等世间万物都可以看作“1”而平均分，从而得到分数。其次，要建立分数的“过程性”理解，即“确定单位‘1—平均分成若干份—得到分数单位—得到分数”的分数理解。基于以上分析，笔者制定了“感知—具化—深化”三个维度的教学环节，采用图形、文字、符号等多元表征方式，来构建分数的意义，进行数学表达。具体的教学实践如下：

1. 实现单位“1”的完整理解

（1）感知——自主表征，感悟“1个整体”，感知分数的意义。

1）自主表征■。

①回顾旧知。

师：我们认识了分数，你了解分数的哪些知识？

②表征■。

师：用画一画、写一写等方式，把你心目中的■表示出来。

师：你为什么这样表示■？和你的同桌交流一下。

评析：本环节旨在通过一个问题和一个操作活动，唤醒学生对分数知识的认知基础和经验。学生经历思考、多元表征、交流等学习活动，充分激发学生学习的需求和欲望，学生对分数的认知跃然纸上，生成丰富的学习资源为下一环节的探究做好准备。这样的导入设计真正从学生的最近发展区入手，以生为本，以生成为导向，学生表现出的对分数的表征能力远远高于教材的设计，为后面的进一步探究做好准备。

2）初步感知分数的意义。

①展示学生的作品：

一个正方形的■    一条线段的■

四个苹果的■      一句话描述■

②感知■的含义。

师：这些都是同学们表示出来的■，你是怎么表示的？大家交流一下。

规范语言描述：把（    ）看作一个整体，平均分成4份，每份就是它的■。

引导总結：看来一个图形、一条线段，以及这样的4个苹果都可以看作一个整体，平均分成4份，一份就是它的■。

3）比较、小结。

①整体展示学生的作品。追问：我们继续观察这些作品，为什么这些不一样的方式都可以表示出■？

②小结：像这样的一个正方形是一个物体，这条线段可以看作一个计量单位，4个苹果是一些物体。数学上像这样的一个物体、一个计量单位、一些物体，都可以看作是一个整体（板书：一个整体），把一个整体平均分成4份，一份就是它的■。

评析：通过前测，发现学生画图表征分数的水平是非常高的，但学生语言描述总会遗漏一些元素，最薄弱的两个点就是“平均分”与“谁的几分之几”。为了更好地利用学生生成的素材，为分数意义的进一步深度构建提供语言与直观支撑，把这一环节定位为：整体展示、规范语言、图与文字的一一对应。基于学生生成的差异资源，通过“为什么这些不一样的方式都可以表示出■”这样一个问题指引学生去思考、去重构知识，学生结合直观的图示、异同的辨析，通过对■这个分数意义的初步理解，感悟什么是“一个整体”，感知分数的意义。

（2）具化——深度表征，理解“一个整体”，内化分数的意义。

环节1：深度表征■。

1）深度表征，理解单位“1”的概念。

①学生尝试。

师：请根据自己对四分之一的理解，表示出这几幅图的■。

②组织反馈。

师：你是怎么表示■的？

③讨论交流。

师：为什么都表示■，一会儿涂的是1个圆，一会儿涂的是 2个圆，一会儿涂的又是3个圆，这是怎么回事？

生：因为每次平均分的总数不同，所以每次表示■的圆的个数也不同。

师：都是把一个整体平均分成了4份，表示出其中的一份，整体的数量在变化，一份的数量也在变化。这个整体还可以是几个圆呢？

生：20个、24个、100个……只要是4的倍数就可以。

追问1：还有其他的想法吗？

生：可以是1个。

生：我觉得还可以是半个。

追问2：可以是半个吗？

生：可以的，只要把半个圆看作一个整体，也是能够平均分成4份的。（学生上台演示）

小结：看来，不管圆的数量是多少，我们都可以看作一个整体，只要把这个整体平均分成4份，其中的一份都是这个整体的四分之一。

2）理解单位“1”。

师：在数学上，一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫作单位“1”。（板书：单位“1”）

师：我们现在回顾刚才研究的■，你能分别说出■的单位“1”吗？

环节2：提升练习。

设疑：两次都是吃了■，为什么吃的块数会不一样？

小结：是的，从图上我们可以直接看出，单位“1”的具体数量不一样，同样的一个分数表示的数量就不一样。

评析：本环节组织学生对■进行深度表征。通过对三幅图涂一涂、议一议的过程，让学生充分感知“一个整体”，结合“这个整体还可以是几个圆”等几个问题的追问，学生既关注了“一个整体”所表示的数量不断变大，又兼顾了“一个整体”所表示的数量不断变小，当学生感悟到半个圆也可以是“一个整体”时，学生已经对“一个整体”真正理解了，单位“1”的概念也自然建立了。经历这样的数学活动，学生对■和单位“1”的认识越来越深刻、越来越接近概念的本质。“提升练习”的设计主要是内化单位“1”，进一步凸显量率的对应关系与单位“1”的具体化认知，为后续研究分数的其他知识打下坚实的基础。学生经历这两个环节的深度表征过程，实现单位“1”的完整理解。

2. 建立分数的过程性理解

（1）理解分数的概念。

1）规范语言描述分数的意义。

师：我们继续观察这8个圆，这里你还能找到哪个分数？

生：■。

师：是的，学习了单位“1”后，我们可以这样来描述■的含义：把8个圆看作单位“1”，平均分成4份，其中的3份可以用■表示。

师：图5右边的两幅图的涂色部分分别可以用什么分数表示？这个分数的含义是什么？大家先写一写再说一说。

2）概括分数的意义。

师：我们研究了这么多分数，现在你能说一说什么是分数吗？

①组织学生讨论交流;②结合学生的回答进行小结。

教师引导小结：把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。这就是今天我们研究的分数的意义。（板书：分数的意义）

3）观察比较，明确分数单位概念。

①比较■和■。

师：仔细观察图5，这个■和■有什么关系？

生：我发现3个■是■。

②理解分数单位。

师：■表示这样的一份，■里面就有这样的3份。在数学上，表示其中一份的数，叫分数单位。所以■就是一个分数单位，■的分数单位就是■，它有3个这样的分数单位。

师：请大家观察图5右边的两幅图，你现在会找分数单位吗？像刚才那样，完整地说一说。

（2）沟通分数单位与整数单位。

1）在括号里填上合适的数。

师：同学们，现在把一个长方形看作单位“1”，这些图示你能用一个合适的数表示吗？

①学生独立完成;②全班交流。

师：这是单位“1”，现在整体来观察这五个数，你有什么想法？

生：把一个长方形看作单位“1”，只要满几个单位“1”，就可以用几来表示。不满一个单位“1”的，只能用分数表示。

师：看来这个单位“1”真厉害，它一个一个地累积起来就是我们认识了的整数，当不满一个单位“1”时，就要用分數来表示。

2）在线段上表示出这些数。

师：在0到1这段上你能表示哪些数？

①学生独立完成;②全班反馈交流。

生：把0到1这一段平均分成5份，再表示出这样的一份，就是■，后面第三格是■，第四格是■。

生：把这条线段向后延长1倍，那个地方就是2，再延长1倍，那个地方就是3了。

师：如果在0和■的正中间再找一个点，这个点可以用什么分数表示？

生：■，也就是把0到1这段平均分成10份，这样的一份就是■。

结合学生的发言，教师分步演示课件，最终成图7。

3）小结。

师：我们根据单位“1”，找到了■，后面一个单位一个单位地累积起来就能得到五分之几，还能确定2、3……这些整数的位置，我们学习过的数都能在这样的直线上表示出来。

评析：有了前面单位“1”的完整性理解，第一环节学生对于分数意义的概括和分数单位的理解就水到渠成了，教师只要用规范的语言适当引导即可。第二环节是教学部分的拓展练习，借助单位“1”沟通了整数、1、分数的联系，使学生感悟到单位“1”的累加就能得到整数，单位“1”的平均分就能得到分数，发展了学生的数概念。数轴的应用，为分数的另外一种定义的引入埋下了伏笔，学生经历这两个环节的活动过程“确定单位‘1—平均分成若干份—得到分数单位—得到分数”，真正建立分数的过程性理解。

3. 多维表征，深化融合分数的意义

根据图8，你能创造一个分数吗？先画一画， 再写出这个分数。

①学生独立完成;②同桌交流;③全班反馈。

师：请这些作品的小主人来分享自己创造的思路吧！

生：我创造了■，把这6个机器人看作單位“1”，再平均分成2份，其中的1份就是■。

生：我创造了■，我把这6个机器人看作单位“1”，再平均分成6份，其中的3份就是■。

生：我创造了■，我把这6个机器人看作单位“1”，再平均分成3份，其中的2份就是■。

师：讲得都很完整。老师这里还有这样的两个分数，你们能看懂吗？自己先独立想一想，我们再来交流。

生：第一幅图的■表示把5个机器人看作单位“1”，平均分成5份，表示了其中的2份。

生：第二幅图的■表示把4个机器人看作单位“1”，平均分成4份，表示了其中的3份。

师：是的，大家都能看出这两个分数表示的意义，那从这两个分数中你能得到什么启示呢？

生：老师，我明白了，用6个机器人创造分数，不一定要把6个机器人看作单位“1”，可以把其中的几个看作单位“1”，这样也能创造出分数。

生：老师，要创造一个分数，只要先确定把几个机器人看作单位“1”，再平均分成几份，表示出其中的几份，就能创造出分数了。

师：嗯，大家都很善于思考。创造一个分数，我们既要关注单位“1”是什么，还要关注什么？

生：单位“1”被平均分成了几份，表示了这样的几份。

师：嗯！观察这些创造的分数，大家想一想，分数的分母由谁决定，分子又由谁决定？

生：单位“1”平均分的总份数就是分母，表示其中的份数就是分子。

（板书：单位“1”■分数）

评析：本环节设计了开放性的学习活动——结合6个机器人创造一个分数，让学生在画图创造分数的过程中巩固对分数意义的理解，这是一个把学生对分数概念理解后物化的过程，也是对分数意义进行多维表征的过程。在第一层次（把6个机器人看作单位“1”）创造分数的基础上，通过比较、追问，打破把6个机器人看作单位“1”的思维定式，从而使学生进一步感悟到确定了单位“1”、平均分的总份数、表示的份数，就能创造一个分数，深化融合了分数的意义，理解了分母、分子等概念的含义，提升了分数意义的符号化与语言表征的水平。

■三、结束语

学生对分数意义的理解不可能一蹴而就，是一个螺旋上升逐步内化的过程，教师要理清分数概念的多维定义，领悟教材编排的意图，把握学生的学情。教学中遵循“感知—具化—深化”的思路，通过多层次、多维度表征■的含义，引导学生经历有意义的数学活动，通过抽象与概括把感性经验上升为理性认识，深刻理解单位“1”，正确构建分数的意义，真正经历“数学化”，这样的课堂，才是真正意义上的优质而高效的课堂。