一类矩阵方程约束最小二乘解的极秩

吴恒飞，张宗标

（亳州学院 电子与信息工程系，安徽 亳州 236800）

多年来，矩阵方程（组）解的极大秩、极小秩问题，一直是研究的热点问题，且取得了比较丰富的成果.其中文献［1］利用矩阵的奇异值分解和Frobenius 矩阵范数的性质，得到方程组AX=B，XC=D的极值秩和秩约束下的解表达式；文献［2］在X和Y为Reflexive （or anti-reflexive）矩阵和Hermitian reflexive（or anti-reflexive）矩阵的条件下，讨论了A-BXC和D-EYE*的矩阵表达式的极秩以及D-EYE*的极值惯性，并对结果进行了相关应用；文献［3］讨论了四元数矩阵方程AXA*+BYB*=C通解的复分量极秩公式；文献［4］讨论了在任意除法环上的线性矩阵方程A1X=C1，XB2=C2，A3XB3=C3，和A4XB4=C4的公共解的最大和最小秩的公式及其相关应用.

四元数矩阵方程AXA*=B在工程设计、信息论等科学技术领域应用广泛，文献［5］讨论了方程AXA*=B的Hermitian 解中子矩阵的极大秩和极小秩公式及相关应用，文献［6］讨论了方程AXA*=B在三对角加箭形矩阵约束下的Hermitian 解及最佳逼近解，文献［7］研究了四元数矩阵方程AXA*=B的非负定解存在的充要条件及通解表达式，给出了非负定解的极大极小秩公式及取得极秩的条件.

若四元数矩阵方程CX=D有解，则称方程CX=D是相容的，笔者主要讨论四元数矩阵方程：

相容约束条件下的最小二乘解，并给出最小二乘解的极大秩、极小秩公式，其中A∈Hm×n，B∈Hm×m，C∈Hm×n，D∈Hm×n，是已知矩阵，X∈Hn×n是未知矩阵.

表1 符号说明

1 四元数矩阵方程AXA＊=B 在方程CX=D 相容条件下的最小二乘解

引理1［8］四元数矩阵方程（2）相容的充要条件是CC+D=D，有解时，一般表达式为：

其中Y 是适当阶数的任意四元数矩阵.

引理2［9］A∈Hm×n，B∈Hn×m，C∈Hm×m为已知矩阵，X∈Hn×n是未知矩阵，矩阵方程AXB=C 的最小二乘解可以表示为：

其中U，V 是适当阶数的任意四元数矩阵.

引理3［10］设A∈Hm×n，B∈Ht×n，C∈Hm×s为任意矩阵，关于矩阵A 的广义逆A+和A 的左、右诱导算子分别为LA=I-A+A 和RA=I-AA+，具有如下性质：

（1）A+=（A*A）+A*=A*（AA*）+；

（2）LA=（LA）2=（LA）*，RA=（RA）2=（RA）*；

（3）LA（BLA）+=（BLA）+，（RAC）+RA=（RAC）+.

定理1若四元数矩阵方程（2）有解，在（2）有解约束条件下四元数矩阵方程（1）的最小二乘解可表示为：

其中U，V 是适当阶数的任意矩阵.

证明由引理1 可知，若方程（2）是相容的，则其一般解为X=C+C+（I-C+C）Y，其中Y 是任意的矩阵，有：

证毕.

定理1 给出四元数矩阵方程AXA*=B 在特殊约束条件下的最小二乘解的表达式，结果丰富了方程AXA*=B 的约束最小二乘解的理论.

2 最小二乘解的极大极小秩

引理4［11］已知A∈Hm×t，B∈Hm×k，C∈Hl×n是任意矩阵，则下列秩等式成立：

由引理4 可得引理5：

引理5已知矩阵A∈Hm×t，B∈Hm×k，C∈Hl×n，D∈Hs×k，C∈Hl×p是任意矩阵，则下列秩等式成立：

定理2 给出了四元数矩阵方程（1）在方程（2）相容约束条件下的最小二乘解的极秩公式，结果扩展了方程（1）的约束最小二乘解的极秩理论.

3 结语

本文讨论了四元数矩阵方程（1）在方程（2）相容条件下的最小二乘解及其极秩问题.方程（2）相容条件下，利用矩阵Moore-Penrose 广义逆，由定理1 获得了方程（2）最小二乘解表达式；利用分块矩阵Gaussian 变换和秩方法，由定理2 获得了方程（2）最小二乘解的极大、极小秩公式.文章结果扩展了约束四元数矩阵方程解的极秩理论，为约束四元数矩阵方程解的极秩问题提供参考.