再谈拔河比赛中的力学分析1)

张伟伟 杜秀丽 赵子龙

(太原科技大学力学系，太原030024)

据《墨子·鲁问》记载[1]，在楚越战争期间，由于越国位于楚国下游河流，越国失利可顺流而退。鲁班为帮助楚国发明了 “钩强”，以 “钩” 住逃跑的越国船只。后来，为了训练这一战术而形成了一种称之为“牵钩”的游戏。世界上许多国家都流行拔河，只是规则不同。1900—1920 年之间，拔河曾是奥运会比赛项目，但因缺乏统一规则于1920 年被取消[2]。1960 年，由英国、瑞典等国正式成立国际拔河联合会(Tug of War International Federation, TWIF)，1965 年开始举办欧洲锦标赛，1975 年开始举办世界锦标赛。此后欧洲锦标赛和世界锦标赛每年交替进行。由牛顿第三定律知道，拔河双方所受的拉绳拉力始终相同，但同样的力施加于双方却产生出了不同的效果。李林等[3]对拔河中队员运动分为平动和转动，通过受力分析比较了摩擦力与重力矩在拔河过程中的重要作用，但该分析没能对拔河运动的训练提出建议。本文仍将拔河队员运动分为平动和转动，补充讨论运动员身体倾角和拉绳倾角，以及手臂、腿部弯曲等因素对拔河比赛的影响，为拔河训练提供一些理论参考。

1 拔河模型及受力分析

如图1 所示为一对一拔河中一方的受力模型，为了简化，当人的姿态确定后将其视为刚体模型，受力包括：拉绳的拉力FL，地面对运动员的支撑力FN，重力G，摩擦力Ff。并引入下列参数：拉绳与水平线的夹角γ，人体向后倾角θ，人体重心O，绳拉力在人体上的作用点D，且L0=|OD|，L=|OE|。

图1 拔河运动员姿态及受力分析图

拔河过程可分为僵持阶段和运动阶段，运动阶段又可以分为平动和转动两种形式[3]。考虑处于僵持阶段，列出平衡方程

水平方向

竖直方向

对E点的矩平衡

当双方用力拉动对方时，绳拉力由0 逐渐增加，摩擦力也随之增加，当一方的摩擦力先达到最大静摩擦力时，也将先达到由僵持转向平动的临界状态，即

这里，Ffmax表示最大静摩擦力，以µ表示静摩擦因数，有Ffmax=µFN=µ(G −FLsinγ)。一般情况下，γ取值很小，大约在 (−10◦,10◦) 之间，该区间内Ffmax为减函数，意味着γ越小越有利于增加最大静摩擦力。从受力上看，当γ <0 时，拉力FL使得正压力增加，也就增加了最大静摩擦力Ffmax；相反，当γ >0 时，拉力FL会减小正压力，从而减小最大静摩擦力Ffmax。综合式 (1)、式 (2) 和式 (4)，可知不被拉动时γ应满足条件

式 (5) 取等号时为临界状态。为了直观地观察γ的临界值，假定G=700 N，µ=0.7，画出不同拉力作用下摩擦力随γ的变化曲线，如图2(a)∼图2(c) 所示。可见，当拉力较小时无论γ取何值都不会被拉动，如图2(a)所示。当拉力FL=500 N 时，γ=−2◦为临界状态，如图 2(b) 所示。当拉力FL= 550 N时，γ=−8◦为临界状态，如图2(c) 所示。

图2 不同拉力作用下摩擦力随拉绳倾角的变化关系

拔河中的拉绳要么水平、要么倾斜。当拉绳水平时，双方的γ角均为0，此时FL=µG，如果双方体重和摩擦因数完全相同，将同时达到临界状态。当拉绳倾斜时，双方的γ角必然为一正一负、且大小相等。可以证明 cosγ+µsinγ在 (−10◦,10◦) 之间为增函数，因此，在一定的拉力作用下，若我方γ取负，对方γ取正，对方将率先超出条件(5)，我方获胜机会增加。比赛中，一方队员一旦坐在地上就很容易被拉动，正是因为坐在地上时γ角较大，影响效果明显。

当最大静摩擦力足够大时，虽然拉力不能使运动员滑动却有可能拉动身体前倾，人为了确保身体平衡，会向前挪动脚步从而输掉比赛。身体前倾就是身体发生了转动，这一过程可以看作是绳拉力矩和重力矩的较量，将其分别记为

绳拉力矩

重力矩

当ML>MG时就有可能输掉比赛。根据文献[3]，θ的取值范围大致在 (30◦,90◦)，该范围内ML为增函数 (γ取值很小)，MG为减函数。身体后倾可使θ取较小值，达到减小拉力矩、增大重力矩的目的。由式(3) 可知，当拉绳倾角γ和拉力FL确定后，可求出身体发生转动的临界倾角，记为θc。当θ小于θc时，拉力矩小于重力矩，将不会被拉动。设队员身高为1.78 m 时，因重心大概位于人体高度的56%左右，近似有L=1 m，L0=0.2 m，因γ很小，令其为0，拉力取值设定在350 N∼700 N 之间，求解不同拉力下的θc，如图3 所示。显然，在该取值范围内，θc随拉力FL近似线性递减，这说明拉力越大，保持平衡所需的θ就越小。不过，也应注意到身体倾角越小，有可能导致γ为正，从而减小最大静摩擦力。因此，需要综合考虑θ和γ的取值。

最后，在拔河中弯曲手臂肘部紧贴腰部，拉力作用点位于腰部，而将手臂展开拉力沿着手臂作用，作用点在肩部，这说明L0可以通过弯曲和伸展手臂调整。同时L也可以通过微弯腿部来调整。由式(6)和式(7) 可以看出，减小L0也就减小了绳拉力矩的力臂，从而减小拉力矩。微弯腿部减小L虽然同时减小了拉力矩和重力矩，不过腿部微弯后再蹬地，由于身体后倾，可将腿部力量转换为拉绳的拉力，这相比于手臂拉力可大大增加FL的值，因此微弯腿部虽然会损失重力矩，但有利于蹬地发力，可将腿部力量转化为拉力从而增加对抗力量。

图3 身体临界倾角与绳拉力之间的关系

2 结论

本文通过建立一对一的拔河模型，分析了拉绳倾角γ，身体倾角θ，以及身体姿态对拔河比赛的影响规律。结果表明抬高拉绳，使我方拉力斜向下时有利于增大我方最大静摩擦力，并减小对方最大静摩擦力；较小的身体倾角有利于减小拉绳拉力矩、增加重力矩，但需要综合考虑拉绳倾角的影响；从运动员的姿态考虑，手臂应弯曲后紧贴腰部以减小拉力矩；腿部微弯虽然会导致拉力矩和重力矩同时减小，但通过脚蹬地，可将腿部力量转化为拉力FL，间接影响比赛结果。在实际比赛中，虽然上述各量的可调整范围都非常小，但如果力量相当时，适时地根据对方的姿态和状况做出有利于我方的调整，恰当的运用力学原理，微弱的优势也会成为取胜的关键。