基于数学抽象谈初中数学符号意识的培养

【摘 要】与小学数学相比，初中数学的抽象化、符号化特点更加明显。学生在接触新的数学符号时，不易理解其内涵，容易混淆概念。造成这一现象的主要原因是学生仅是被动地接受教师的教学，缺乏主动探究的精神，不理解符号的来源。教师在教学过程中可以多途径、多角度地解读数学符号，引导学生理解其合理性，从而培养学生的符号意识。

【关键词】初中数学;数学抽象;符号意识;教学设计

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0046-02

数学抽象是数学学科的基本思想，是形成严谨的理性思维不可或缺的基础。数学抽象反映了数学的本质属性，且能够运用于其他学科，可以解决很多问题。数学抽象主要指从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号和数学术语予以表现。而在义务教育阶段，符号意识则是数学抽象的最直接体现。符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性[1]。因此，培养学生的数学抽象核心素养，应当重视义务教育阶段对学生符号意识的培养。

数学教学活动是数学学科素养培养的主要途径，教师的教学设计要依据课程标准的要求[2]。在此背景下，本文主要以人教版七年级下册“实数”章节中的“平方根”为例，探讨在数学课堂上培养学生符号意识的教学策略。

1   教学分析

1.1  教材分析

“实数”是人教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册的第六章。实数是义务教育阶段数学四大模块中“数与代数”的重要内容。本章的主要内容有开方运算、平方根、立方根、无理数和实数等概念及其相关基本运算[3]。经过本章的学习，学生对数的认识将从有理数的范围扩大到实数的范围，是数的第二次扩充，且完成了义务教育阶段数的扩展。义务教育阶段课程标准对于实数章节的要求如下：通过教学让学生了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根;体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数;掌握必要的运算（包括估算）技能。实数章节是进一步学习二次根式、一元二次方程以及函数等知识的基础，因此，让学生正确而深刻地理解实数的概念是非常重要的。无理数的引入和数系的扩展体现了对立和统一的辩证关系及分类思想。本章不仅能完善学生的知识结构，而且还是培养学生想象能力、渗透数学抽象、使学生感受数学符号的有效载体，也是发展学生逻辑思维能力的重要内容。

1.2  学情分析

本章节即将学习一种新的运算——开方运算，由于开方与乘方是互逆运算，部分学生对于这部分的知识理解会存在一定难度。教学中可以通过图形展示互为逆运算，突出互逆过程，揭示开方运算的本质，让学生直观感受根号的意义。在理解平方根的意义和表示之后，学生能够类比学习，自主推导出立方根的定义及表示方法。对于实数的运算，基于有理数的运算顺序与法则，学生可以在旧知识的基础上学习新知识，使学习形成正迁移，易于掌握相关运算。且本章不涉及二次根式的内容，虽然数系有一定的扩充，但数的运算法则和运算律都没有发生变化，所以学生在运算方面不会有太大的困难。

2   教学策略

2.1  课堂引入——感受数学符号的简洁性

每一个数学符号的出现，都为数学学科注入了新的活力，极大地推动了数学学科的发展。因此，数学的符号化是数学发展的内在动力。世界上现有的数学符号有200多个，义务教育阶段就有20多个。数学符号具有简洁性、抽象性、科学性等特点。如乘號与乘方均可明确地表示代数运算：3×2=2+2+2=3+3，25=2×2×2×2×2;等几何图形的符号则抽象出相应图形基本特征以及几何图形之间的关系，表达形象;类似于乘法分配律a（b+c）=ac+bc的符号避免了冗长的语言叙述，也避免文字理解可能产生的歧义，以最简单的方式体现了运算的规律。而本章学习的（a≥0）表示实数a的算术平方根，比自然语言表达更简洁，便于揭示开方运算的本质，便于进行实数运算，利于表述、分析和解决问题。

2.2  问题探究——体会数学符号的合理性

数学中数系的不断扩充是为了解决生活实际的新问题。为了解决一类问题——已知正方形面积或体积，求其边长或棱长，根号应运而生。教学过程中，教师以不同面积为例，让学生求其边长，并引导学生感受乘方与开方是互逆运算，而后通过图片（如图1）直观地感受互逆运算，有利于学生对概念的理解以及后续内容的学习。

学生每学习一种新的运算，就会认识一个新的数学符号。而每一个数学符号的产生都是经过长时间的发展，才逐渐演变成今日大家所熟悉的符号。如小数点，最开始人们将小数部分降一格写，但这与整数部分的差别并不明显。而后改成用竖线隔开，但竖线与数字1又容易混淆。接着改成用逗号隔开，但也容易与自然语言中的逗号产生误解。因此，最后演变成一个小圆点，避免了以上的困境。而根号的书写方式也是经过数百年的不断改进，逐渐完善的。

最开始，数学家用根的首字母，或大写或小写来表示如今的根号，但并未完全统一。之后德国人便开始用一个点来表示方根，如·3表示3的平方根，··3表示3的4次方根，这种表示方式较为繁琐且容易产生歧义。16世纪初，人们用小点带上一条小尾巴来表示根号，就像一个小蝌蚪，书写较为困难。1525年，德国数学家鲁道夫首次用√8表示8的平方根，虽然这是目前最简洁的表示方式，但随之而来的新问题差点酿成大祸，原因是“√”的开方对象并不明确，无法确定它能对后面几个数字或几个项进行开方运算。最终，笛卡尔对其进行了改进，解决了此问题。他在小钩子上方用直线把开方的对象画在线内，上方直线起到了括号的作用，就变成了现在国际上广泛使用的根号了。之后，n次方根符号在根号的基础上也出现了。此部分可由教师为学生提供微课学习资源，供学生深入了解。

2.3  练习巩固——强化语言互译能力

符号意识的培养离不开符号语言、图形语言、自然语言的互译。因此，在新知讲解之后，教师需要通过练习多方位检测学生的学习成果。

练习1：下列语句写成数学式子正确的是（  ）

3   回顾反思

学生的符号意识培养不在一朝一夕，教师应当把握每一节数学课堂，精心设计，循序渐进，螺旋上升。对于实数章节，教师可通过多种方式巩固学生对于根号的理解。在今后的学习中，学生还将接触二次根式，用根号来表示更为一般化的二次根式的运算规律等。在平时的课堂教学中，教师要对新学习的数学符号进行挖掘和深究，通过多角度、多方位地设计课堂环节，让更多的学生知其所以然，让学生了解数学符号的来龙去脉，掌握其本质规律以及应用方法，从而体验数学符号的优越性与抽象性，促进学生符号意识的发展、抽象思维的形成。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]刘鑫.数学教学，要为新知引入找理由——以“平方根”（第1课时）为例[J].中小学数学（初中版），2021（6）.

[3]刘超.根号的历史及其启示[J].中学生数学，2011（10）.

【作者简介】

林霄霞（1994～），女，汉族，福建莆田人，本科，二级教师。研究方向：中学数学。