重视“几何直观”提升解题能力

【摘 要】解题能力是衡量一个学生数学综合能力的标准之一，本文以“几何直观”为数学解题的突破口，从重视“几何直观”培养，强化数学数感;加强“几何直观”应用，加速数学推理;增强“几何直观”理解，简化数学运算;深化“几何直观”理念，促进模型思考这四个方面，探寻了利用“几何直观”提升学生解题能力的具体路径。

【关键词】几何直观;解题能力;初中数学;案例;路径

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0032-02

解题能力是数学学习的一项基本能力。“几何直观”是义务教育阶段初中数学课程重点发展的一项学科思维。“几何直观”主要是指利用图形来描述和分析问题，利用“几何直观”可使复杂的数学问题变得更加简明形象，可帮助学生理解数学问题。在初中阶段重视对学生“几何直观”的培养，可促使学生形成数学思维，提升解题能力[1]。下面笔者以苏教版初中数学教材为例，就“几何直观”在解题方面的应用做初步探究。

1  重视“几何直观”培养，强化数学数感，扩展解题视野

“几何直观”对数学课程尤其是初中数学课程的学习的重要性毋庸置疑。事实上，在苏教版初中数学教材中，有着诸多“几何直观”案例，这些案例对学生数学数感的启发、解题思路的丰富具有重要意义。课堂教学中，教师要依托教材，充分剖析和总结相关例题例证，用“几何直观”引发学生思考，以強化学生数感，夯实学生的数学解题基础。

以苏教版教材七年级上册第2章“有理数”第2节“有理数与无理数”为例，在“什么是无理数”的教学设计中，教材并不是将“无限不循环小数叫做无理数”这个概念生硬而直接地告知学生，而是应用了“几何直观”思维，形象地刻画了无理数的特征。教材先以两个边长为1的正方形，通过对角线剪开、重组，形成一个新的面积为2的大正方形，而这个大正方形的边长则为无理数。本题借助“几何直观”，在数的认知过程中引入图形，让学生直观感受到无理数的存在，培养了学生的数感，为学生数形结合解题能力的形成奠定了基础。

2  加强“几何直观”应用，加速数学推理，体现知识关联

“几何直观”体现的是一种思维便利。在解题过程中，“几何直观”则表现为将复杂数学问题简单化，利于数学推理及运算。众所周知，数学推理是能力较强的学生在数学解题中的惯用方式，也是数学素养考核的基础。数学推理是指借助题目条件和数学定理公式，经过严谨推算，最终实现对未知结论的推导演算的过程。事实证明，“几何直观”有助于加快数学推理进程，但这需建立在学生充分掌握相关数学概念和公式的基础上，在数学“几何直观”的引导下，体现学生在解题推理过程中对相关数学知识的融会贯通。

以苏教版教材七年级下册第9章“整式乘法与因式分解”第4节“乘法公式”为例，在证明完全平方公式（a+b）=a+2ab+b的过程中，教材舍弃原本代入相乘推理算法，代之以“几何直观”的方法，将推理与图形进行有效结合，体现了“几何直观”的便捷。教材借用小学阶段已经学过的长方形面积公式，将（a+b）的公式直观简化为对边长为（a+b）的大正方形面积的求解，通过将4个小长方形面积相加，直观得出结论，大大提高了数学推理的效率，也体现出对中小学阶段数学知识的衔接关联。同理，对于（a−b）的推导，一样可以通过“几何直观”，借助图形面积公式求解，在此不再赘述。

3  增强“几何直观”理解，简化数学运算，丰富解题思维

运算能力是数学解题能力的基础，也是初中阶段数学训练的重点，“几何直观”对学生数学运算能力的培养有着直接关联。“几何直观”看似简化了运算过程，但并未削弱对学生运算能力的要求。透过“几何直观”，学生在数学解题中可实现常规运算与便捷运算间的思维转换，从中找出更为便捷的解题途径。从本质上看，“几何直观”可简化数学运算步骤，提高解题效率，体现了数学学科对解题思维的强调，可以推动学生解题能力的提高。

以苏教版教材八年级上册第2章“轴对称图形”的教学活动“折纸与证明”为例，众所周知，在三角形边角关系中，大边对大角。但是如何证明呢？以图1为例，常规解题思路如下：在长边AC上取AB′=AB，∵AB′=AB，∴∠AB′B=∠ABB′，又∵∠AB′B=∠B′CB+∠B′BC（外角等于不相邻的两个内角和），∴∠AB′B>∠B′CB，又∵∠ABC=∠ABB′+∠B′BC，∴∠ABC>∠AB′B，∴∠ABC>∠B′CB。即可得出结论：∆ABC中，AC>AB，则∠B>∠C（大边对大角）。但借助“几何直观”，利用“轴对称”原理，将短边类似“折纸”一样“折”向长边，如图2所示，可发现：∠AB′D为∆B′CD的外角，即∠AB′D大于∠C，又∵∠AB′D=∠B，∴∠B>∠C。得出结论：大边对大角。通过对图1与图2的对比，可以明显看出：通过图形转化，借助“几何直观”可对运算过程进行简化，以此对学生的解题思维进行拓展和提升。

4  深化“几何直观”理念，促进模型思考，提升解题素养

模型思维是数学抽象思维的代表，体现了数学逻辑严谨的学科特点。“几何直观”致力于将复杂数学问题简单化、形象化，与严谨科学的数学学科特点看似大相径庭，实则相向而行。数学学科学习不应仅限于概念、公式、定理，更应该体现解题过程的灵巧和生动。“几何直观”将深藏在解题过程的数学之美展示在学生面前，可引导学生对解题过程进行模型化思考。这样能够加深学生对数学解题的理解，有助于学生数学解题素养的形成。

总之，数学是研究数量关系和空间形式的科学。“几何直观”可使复杂数学问题变得简单直接，使枯燥的数字推理变得形象直观，这既简化了数学解题的过程，也蕴藏着数学解题的魅力，是促使学生理解数学、发现数学、爱上数学的催化剂[2]。教师要重视“几何直观”在数学解题中的应用，让“几何直观”对接数字与图像、数量关系与空间形式，以增强学生数学解题能力，为学生数学核心素养的培养服务。

【参考文献】

[1]张萍.几何直观——初中数学教学新视域[J].新课程导学，2021（18）.

[2]吴静.几何直观：思维可视化的有效路径[J].江苏教育研究，2019（35）.

【作者简介】

张雷（1973～），男，汉族，江苏省邳州人，本科，中小学一级教师。研究方向：中学数学教学。