在结构化复习中发展学生推理能力

【摘 要】复习课是数学教学中的一种典型课型，在一个阶段的新知学习之后，根据艾宾浩斯遗忘曲线，需要进行知识的回顾和梳理。以初中“轴对称图形”一章的复习课为素材，从“垂直平分线”出发进行问题变式，在驱动学生重塑认知结构的过程中，促进学生深度认识、理解轴对称图形知识之间的相互关系，发展推理能力。

【关键词】结构化复习;轴对称;推理能力

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）11-0030-04

【作者简介】诸士金，南京市六合区横梁初级中学（南京，211515）校长，高级教师，南京市学科带头人。

复习课是数学教学中的一种典型课型，在一个阶段的新知学习之后，根据艾宾浩斯遗忘曲线，需要进行知识的回顾和梳理。很多复习课惯常采用“框图+例题+练习”的模式进行。而这里“框图”如何建立、“例题”如何选择、“练习”怎样设计，往往没有被深入研究，经常是以新课认知的顺序，罗列知识，形成框图，以常考的试题为例题分析讲解，用教材后的练习进行巩固。这样的复习缺乏系统性，不利于学生整体认识知识的内在联系，缺乏新意，也容易将复习课上成习题课。

江苏省特级教师卜以楼提出“用生长型构架进行数学复习”，是指根据要复习的知识内容和学生已有的认知经验，坚持系统化理论，运用结构化方法，架设生长型路径，开展探究型活动，形成求异思维的自我建构，有着新授课特质的复习方法。以此理念为指导，笔者尝试借助结构化复习教学策略，以苏科版初中数学八年级“轴对称图形”复习课为素材进行了以下教学实践和反思。

一、轴对称图形复习课的教学价值

“轴对称图形”一章从简单的平面图形入手，分两部分进行研究：一是认识轴对称，包含了认识轴对称和轴对称图形，探索轴对称的性质，设计轴对称图案;二是简单平面图形的轴对称性质探究，包含探索线段、角、等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。这些概念和性质的学习为后续四边形、圆以及图形之间的变化等知识的学习做了铺垫，是认识图形“对称性”性质的起始。

初中阶段的几何知识公理化体系特征明显，教材基本上按照欧几里得几何学和希尔伯特的《几何基础》构建了基于一组基本事实、定义的纯粹演绎系统。这样的演绎系统体现了数学独特的逻辑性，以知识之间存在的逻辑关系，形成数学知识结构。但数学知识结构不等同于教学结构，教学结构是依据教师对客观的数学知识结构的理解，以学生认知结构为基础，在实施课堂教学中所体现出来的环节先后、问题递进等教育形态的逻辑关系。因此，结构化教学是一种从数学知识结构和认知结构出发，形成教学结构并予以实施的教学策略。

这一策略在复习课中尤其能体现其价值。价值一在于可以帮助学生建立从局部到整体的认识路径，培养学生形成“整体决定局部”的观念;价值二在于可以优化和完善学生已有的认知结构，发展学生思维的逻辑性和系统性;价值三在于可以帮助学生从不同的角度认识同一个事物，培养学生思维的独创性和深刻性。基于对这些主要价值的认识，进行结构化复习教学能够凸显知识内在联系，发展学生的推理能力，形成更高水平层次的系统观，以图1辅助理解。

[数学知识结构][结构化教学评价][形成教学结构][学生认知结构][结构化教学][学生新认知结构][迭代][（图1）]

二、基于教学价值认识的教学设计

1.初步梳理结构，交流分享激发生长。

请学生结合自己的学习和理解，尝试用知识结构图的方式将本章学习成果进行梳理。

【设计意图】本环节提前布置学生利用课余时间自主梳理已经获得的知识。一方面有利于了解學生已有的知识结构，另一方面借助交流和分享，促使不同学力的学生从不同的角度呈现对统一知识的认识和理解，激发其他学生思考如何结合自己的知识结构进一步生长并完善。

2.问题驱动联想，发展逻辑推理能力。

问题1：如图2，已知直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P在l上，连接PA，PB.则可以推出（1）  ;（2）  ;（3）  ;等结论。其中形成结论（1）的理由是什么？

【设计意图】轴对称结构化复习选择从最经典的垂直平分线切入，源于垂直平分线和其他知识内在关联性在初中阶段的重要程度。问题1结论开放，不同层次的学生给出答案是不一样的，可以更广泛地帮助不同层次学生对已有认知结构进行回顾。要求学生说明结论（1）成立的理由，无论学生选择哪一个结论，都可以借此从几何解题的角度发展逻辑推理能力。

问题2：如果在问题1中添加∠A=60°，还能推出哪些结论？∠A=45°呢？

【设计意图】以问题1为“根”，强化条件∠A=60°或∠A=45°，开放结论，驱动学生在“垂直平分线”的节点上继续生长出“等边三角形”“等腰直角三角形”及相关性质。这是一种“从一般到特殊”的思想，问题2在等腰三角形的基础上强化角度的大小，就可以得到更特殊的等腰三角形，如这里的等边三角形、等腰直角三角形。因为特殊的都拥有一般的性质，因此研究特殊的图形性质可以根据所强化的元素条件带来的影响进行研究，这种数学思想是逻辑推理能力发展的一个重要体现。

问题3：如图3-1，在问题2中∠A=45°时，点C、D在图中线段PA、PB上（不与P、A、B重合），连接OC、OD.请说明点C、D分别处于PA、PB何位置时，OC=OD？（写出一种位置时OC=OD的理由）

预设1：过O点分别做AP和BP边上的高，垂足为C、D，如图3-2.

预设2：C、D为PA、PB边上的中点，如图3-3.

追问：上述C、D位置是否能推出OC=OD？还有其他位置吗？

小结：C点和D点满足PC=PD，如图3-4;C点和D点满足PC=BD，如图3-5.

【设计意图】教师继续就问题2进行结构生长，强化条件OC=OD，这里开放的已不再是结论，而是开放了条件。点C、D在线段PA、PB上，并没有给出具体位置，需要借助轴对称概念与证明线段相等的通法（构造全等）来确定C、D。此处又渗透了分类思想，需要进行两种情况的分析，情况1：OC、OD如果关于直线l对称，会在什么位置？情况2：OC、OD不关于直线l对称，是否存在相等的情况？分类思想的渗透在发展逻辑推理能力中不可或缺。

问题4：如图4-1，在问题1的条件基础上，如果点Q也是直线l上的一点，且点A、P、Q构成的△APQ为等腰三角形。请借助尺规在图中确定出点Q的可能位置。

【预设】位置不唯一，这里要分类讨论，结合之前学习等腰三角形时，“如果等腰三角形不确定的，可以按照顶点不同来分类”，比如这里可以分别以P、A、Q为等腰三角形顶点进行分类，这样就能找全（如图4-2，4-3，4-4）。

【设计意图】问题4是对等腰三角形相關问题中渗透的“分类思想”进行重点复习。需要学生先思后作，是典型的以尺规作图为载体发展学生逻辑推理能力的一种形式。

3.再次梳理结构，反思路径积累经验。

请学生结合课前梳理的知识结构，进行修改微调，并分享本节课学习中的反思。

【设计意图】本环节旨在帮助学生进一步结构化认识。教师为了让学生结合自己的学习对自己的获得印象进一步强化，先组织学生书写，再进行交流，这一过程是将默化认识进行显化。这样的显化一方面需要学生有条理、有取舍地进行表达;另一方面有利于强化经验积累和提升，尝试表达，并在交流中分享获得，收获质疑与鼓励。

三、基于教学设计的进一步思考

1.发展推理能力需要关注数学思想。

这里的“发展推理能力”主要是指归纳推理能力和演绎推理能力。发展归纳推理能力在问题的设计中主要体现在由特殊到一般的数学思想上，结合具体的条件变化和结论的对应关系，预测一般化的条件下可能的数学结果。在本节课的设计中，引导学生对“等腰三角形”按元素（顶点或底边）进行分类，是一种属性归纳。当然，本节课更多的地方是一种命题推理的证明，问题1和问题3明确要求学生写出理由，在理由的表述过程中需要学生不断地对条件进行转化，在不断转化中将要证的线段或角的数量相等关系转化到等腰三角形、全等三角形的基本图形中研究，这样的转化思想是一种“未知向需知，需知向已知”的“靠拢”，能够很好地帮助学生发展演绎推理能力。

2.发展推理能力需要选择有效的载体。

本节课中以几何证明为框架，以轴对称图形、全等三角形等知识为内容，通过问题驱动的方式将一个个看似独立的证明连接起来。这样有脉络的生成，能更好地引导学生在推理证明时关注不同命题之间的内在联系。

在本节课以问题1中的“垂直平分线”为基础，一步步强化条件，或条件开放或结论开放。这样的问题变式驱动让学生在推理证明时看到了题与题之间的变化，感受到变化的方法和方向。这样显化问题变式和知识生长的方式会默默地影响学生对所学知识拓展方向的思考，在思考中“预测”数学结果，以及对产生的数学结果进行“验证”，是一种有效发展归纳和演绎推理能力的载体。

3.发展推理能力需要构建新的认知结构。

无论归纳推理还是演绎推理，推理中必然体现数学逻辑。“逻辑学的重大发展在本质上是依赖于如何更好地模拟人们的思维过程（至少在现阶段是如此），而模拟的前提就是如何合理地解释人们的思维过程。” [2]现有的数学知识可以看成是一种“客观结果”，这样的“客观结果”是古往今来众多数学家构建的“数学系统”。我们在不同认知水平上能够触摸其中一角，教材所呈现的知识结构也是其中一种形式，因此构建新的认知结构是基于学习者对教材呈现知识结构的理解，以分解、重组、演绎的方式构建另一个认知角度的知识结构，这个结构的构建要依赖于学习中获得的推理能力。

分享学生知识梳理的环节，其主要目的就是要了解学生已有的本章知识结构到了什么程度，能否知晓知识点之间的逻辑关系等。不少学生梳理的知识结构建立的水平不等，大体分为三个层次：第一个层次是模块化梳理，一般罗列对应知识的文字语言、符号语言和图形语言，逻辑性不强;第二个层次是用粗线条的思维导图进行梳理，这里有了第一层次的理解基础，也有了对这些知识点之间逻辑关系的梳理，比如从等腰到等边，在构建的路径线条（或箭头）附近注明强化的条件，这里梳理出来的一些关系则为课本上或教师授课中已经明示过的;第三个层次则是在第二个层次基础上的拓展，除了将第二层次的思考以思维导图形式体现出来，还主动思考了知识点存在的新关系，以及能够打通内在联系的新路径。如可以从垂直平分线（见48页图5）或从角平分线等知识点出发建构本章复习路径等。

卜以楼老师指出，拓展复习课的升值空间的路径可能有很多种，教学实践告诉我们，根据知识发生、发展、生长的过程，对生长路径做必要的调整和优化，构建出更加适合学生认知的生长路径，是生长型复习课的关键之所在。结构化复习课教学的实践正是基于此观点的尝试和探索，这样的探索需要我们更深刻地读文本、更深入地下课堂、更深情地爱学生。

【参考文献】

[1]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018.

[2]史宁中.数学思想概论（第3辑）——数学中的演绎推理 [M].长春：东北师范大学出版总社，2009.