连续梁桥边墩不均匀沉降下轨道层间变形协调关系及动力学应用

冯玉林，蒋丽忠，陈梦成，周旺保，刘 祥，张云泰

(1. 华东交通大学土木建筑学院，南昌 330013；2. 中南大学土木工程学院，长沙 410075；3. 轨道交通基础设施运维安全与保障技术国家地方联合工程研究中心，南昌 330013；4. 高速铁路建造技术国家工程实验室，长沙 410075)

高速铁路桥上轨道几何形位改变直接影响列车运行平稳性和安全性，研究轨道-桥梁系统不同部位相互作用机制，探明基础结构变形与轨道几何形位改变的轨道层间变形协调关系，对高速铁路线路几何形态发展预测与线路运营安全的静、动态性能综合管理具有重要的理论与现实意义[1]。

近年来，针对基础结构变形引起轨道几何形位改变的问题，已有大量学者开展了数值方法的研究，何春燕等[2]基于CRTS III 型板式无砟轨道的路桥过渡段有限元模型，研究了不同路基沉降与轨道几何形位改变的相关关系，并得到了该层间变形协调关系的函数表达。蔡小培等[3]基于单元、双块式无砟轨道的梁-板-实体空间耦合有限元模型，对基础不均匀沉降的幅值、范围及型式与无轨道几何形位改变的关系开展了研究。Wang 等[4]利用有限元模型计算了桥墩不均匀沉降产生的轨道附加变形，进而叠加到初始轨道随机不平顺中，基于车桥耦合动力模型研究桥墩沉降对列车行车安全影响。

部分学者开展了解析方法的研究，冯玉林等[5-6]在考虑引桥与路基及其上轨道结构影响的CRTS II 型板式无砟轨道-桥梁系统层间相互作用的基础上，基于势能驻值原理，提出了桥梁结构竖向变形与轨道几何形位改变的相关关系解析模型。并利用有限元数值方法对解析方法进行了验证。陈兆玮等[7-9]在分析钢轨随桥墩沉降变形机制的基础上，推导了桥上铺设单元、纵连板式无砟轨道条件下桥墩沉降和轨道几何形位改变的相关关系，提出了钢轨随桥墩沉降发生变形的解析表达式，并与相应有限元模型的计算结果进行了对比。勾红叶等[10-11]以CRTS I 型无砟轨道-简支梁桥为对象，通过逐层分析无砟轨道层间结构受力状态，建立了桥梁结构变形与轨面几何形态的通用相关关系解析模型。并采用有限元模型与试验数据对解析模型进行了验证。曾志平等[12-13]以轨温过渡区为研究对象，建立钢轨位移微分方程，推导轨温分布与钢轨纵向位移的映射关系，从而揭示影响无砟轨道钢轨爬行的规律。

也有少量学者开展了室内试验的研究，魏亚辉等[14]运用室内试验研究了梁端转角、梁体错台等对扣件的影响规律，探明了变形量与扣件附加力幅值的主要影响因素。

综上，针对基础结构变形引起轨道几何形位改变的问题，在数值、理论及试验方面均取得了可指导工程应用的显著成果。然而，上述学者大多针对简支梁桥、路基及路桥过渡段等变形引起的轨道几何形位改变进行研究，对连续梁桥变形引起的轨道几何形位改变研究较少，且现有连续梁桥变形与轨道几何形态改变的研究并未考虑轨道板脱空、梁缝集中力、主梁变截面等问题的因素[15-16]。

本文基于APDL 建立考虑引桥与路基及其上轨道结构影响的高速铁路CRTS II 型无砟轨道-变截面连续梁桥系统精细化仿真模型。通过大量的计算，探明了边墩不均匀沉降差引起轨道几何形位改变的轨道层间变形协调机理。基于线性回归方法获得了不同连续梁桥跨度条件下，边墩不均匀沉降差与轨道几何形位改变的层间变形协调关系的定量函数表达式，进而采用APDL 模型、文献模型及列车-轨道-桥梁耦合动力学理论对其进行验证，最后，基于所提出的定量函数表达式研究了边墩不均匀沉降对列车运行平稳性和安全性的影响。所得结论为今后构建高速铁路线路几何状态发展预测模型增添理论依据。

1 CRTS II 型无砟轨道-变截面连续梁桥精细化仿真模型

依据适用于8 度设防地震区的高速铁路CRTS II 型无砟轨道-桥梁通用设计图，基于APDL 建立考虑简支引桥与路基及其上轨道结构影响的高速铁路CRTS II 型无砟轨道-连续梁桥仿真模型[17]。如图1 所示，主桥为双线连续箱梁桥，主梁采用单箱单室变高度箱梁，梁底按二次抛物线渐变。桥墩为圆端型实体[18]。引桥为32 m 简支箱梁桥，采用单箱单室截面。路基、桥梁及连接处CRTS II无砟轨道结构形式构造示意图见图2(a)。CRTS II型无砟轨道中扣件、CA 砂浆层、剪力齿槽、侧向挡块、支撑层等采用理想弹塑性模型，参数及本构见表1 及图2(b)[19-21]。支座采用球型钢支座，支座相应参数按照设计图纸取值，本构模型如图2(c)所示[22-23]。支座限位挡块本构模型见图2(d)[24]。摩擦板为仅受压不受拉，竖向抗压刚度为1×106MN/m，摩擦系数取0.7，屈服点为0.5 mm；滑动层为仅受压不受拉，单位长度竖向抗压刚度为1.5×103MN/m，水平向刚度为12 MN/m，屈服点为0.0005 mm，水平摩擦系数取0.2[25]；挤塑板为仅受压不受拉，每1.45 m竖向抗压刚度为600 MN/m，屈服点为0.075 mm；两侧大端刺与路基固结，不考虑其变形[26]。上述构件均采用仅受压本构模型，如图2(e)所示[27]。

2 边墩不均匀沉降差与轨道几何形位改变的层间变形协调关系

2.1 层间变形协调机理

桥墩沉降是桥梁中较常见的病害，只要沉降量不大或沉降趋于稳定，对静定结构梁桥一般不会产生比较严重的破坏。但对于超静定结构梁桥，基础的不均匀沉降，则会在桥墩或梁板中产生比较大的应力，进而传递至轨道，产生裂缝或破坏，影响线路正常行车。边墩支撑着静定结构简支梁桥和超静定结构连续梁桥，不均匀沉降下，简支梁桥发生近似一次函数变形，连续梁桥发生近似三次多项式函数变形。CRTS II 型板式无砟轨道是一种纵向异性、竖向多层的带状系统，桥上采用纵连形式，边墩沉降下梁缝处轨道板及连续梁桥上轨道板极易翘起，进而导致轨道板与底座板之间形成许多脱空区域[28]。脱空区域内扣件受力极度不均匀，进而带动钢轨发生突变变形，列车通过时，突变变形加重轮轨激扰，影响乘坐舒适性，甚至威胁行车安全。

图 1 高速铁路CRTS II 无砟轨道-连续梁桥系统示意图(沉降效果图放大100 倍)Fig.1 Schematic diagram of CRTS II ballastless track-continuous girder bridge system of high-speed railway

图 2 高速铁路轨道-桥梁系统各部件的本构模型Fig.2 Constitutive models of each component of track-bridge system of High-speed railway

表 1 高速铁路轨道-桥梁系统各部件的参数及本构模型Table 1 Parameters and constitutive models of each component of track-bridge system of high-speed railway

2.2 层间变形协调关系

《高速铁路设计规范》(TB 20621-2014)规定桥上轨道类型为无砟轨道时，墩台不均匀沉降差限值 d=5 mm。实际工程中，简支梁桥以32 m 标准跨为主，而连续梁桥跨度则视实地跨越环境而定，所以本文仅考虑连续梁桥跨度的变化。因此，本文 d的取值为4 mm、 5 mm、 6 mm、 10 mm、20 mm 及30 mm，连续梁桥跨度为常见的40 m+60 m+40 m、48 m+80 m+48 m、60 m+100 m+60 m。图3 为48 m+80 m+48 m的跨度，边墩不均匀沉降差为5 mm 时，主梁变形曲线及轨道几何形位改变曲线。可见，由于钢轨的连续性，钢轨的变形区间向两边延伸，该变形区间大于桥梁跨度，在沉降墩左处的桥墩上钢轨变形呈“上翘”趋势，梁缝处钢轨变形为一段曲线。简支梁桥变形为一直线，连续梁变形为曲线。

经过大量的APDL 模型计算分析，得出不同不均匀沉降差 d 及连续梁跨度 L引起的轨道几何形位改变曲线，如图4 所示。可知，随边墩不均匀沉降差的增加，轨道几何形位改变值逐渐增大，坡度越陡。边墩上简支梁左端的梁缝处钢轨上拱，梁缝处左端的另一个简支梁上钢轨反向凹陷，随不均匀沉降差的增加，凹陷增大，上拱波长减小且越发突出，使得乘坐舒适性和行车安全性变差。可见，边墩不均匀沉降差与轨道几何形位改变存在着层间变形协调关系。随着连续梁桥跨度的增大，轨道几何形位改变的波长随之增大，则连续梁桥跨度与轨道几何形位改变也存在着层间变形协调关系。

图 4 边墩不均匀沉降差及连续梁跨度下轨道几何形位改变Fig.4 Track geometry change under uneven settlement difference of side pier and continuous girder bridge span

2.3 层间变形协调关系的数学表达式

轨道几何形位改变与边墩不均匀沉降差 d、桥梁跨度 L及里程 x均有关系，即轨道几何形位改变可被视作这3 个变量的函数。在线性回归方法中，若多变量同时拟合，难以保证所得函数表达式的精度，因此，先将连续梁跨度作为已知条件，计算出跨度不变时，轨道几何形位改变与不均匀沉降差 d和里程 x的定量函数关系表达式，进一步将连续梁跨度变化量纳入定量函数表达式中。轨道几何形位改变曲线上的数据点为(xi,yi)，(i=0,1,···,m)，为使逼近函数构造形式简单，在Φ=Span{φ0,φ1,···,φn}中寻求一函数，如下：

其中，误差为：

根据内积定义引入相应的带权内积记号：

则得到法方程：

由图5 知，为使所得结果精确，将边墩不均匀沉降差引起的轨道几何形位改变曲线分8 个区域。区域I(左路基段)和区域VIII(右路基段)远离沉降区域，轨道并未发生较明显的几何形位改变；在区域II(简支梁桥段)、III(梁缝段1)、IV(简支梁段)、V(连续梁桥段)、VI(梁缝段2)及VII(简支梁桥段)，轨道随边墩不均匀沉降差而产生“跟随性”变形。因此，需分别将区域II、III、IV、V、VI 及VII 的轨道几何形位改变曲线上的数据点作为拟合数据，对各沉降区域进行多项式拟合，即(φ0,φ1,···,φn)=(1,x,x2,···,xn)，由式(6)可得法方程如下所示：

经过拟合发现，六次多项式可以有效反映梁缝处钢轨的上拱及反向凹陷，五次多项式可有效反映出连续梁桥上轨道几何形位的改变。因此，区域II、III、IV、V、VI 及VII 处边墩不均匀沉降与轨道几何形位改变的层间变形协调关系可表示为：

图 5 边墩不均匀沉降差引起轨道几何形位改变分段图例Fig.5 Piecewise illustration of track geometry change caused by uneven settlement difference of side pier

为定量分析各段公式所获得的拟合效果，采用拟合优度 R2对其进行评估，如下所示：

式中： m为单条轨道几何形位改变曲线上数据点的个数； n为拟合多项式的次数。

以边墩不均匀沉降差 d=5 mm，连续梁桥跨度为48 m+80 m+48 m 为例，各段计算的拟合优度R2如下所示：

由式(12)可得，各段公式的拟合优度 R2均较接近1，表明拟合效果良好。然而，目前所得函数表达式只能表示轨道几何形位改变与变量 x的函数，需要继续求解包含边墩不均匀沉降差 d的函数。各不同沉降差引起的变形区段，拟合系数每一列为不均匀沉降差 d的函数，进而将每一列数据再次进行多项式拟合，得到轨道几何形位改变多项式每一项的系数与不均匀沉降差 d的关系式：

式中，拟合系数见表2，i=II,III,···,VII对应各变形区域，j=0,1,2,···对应拟合多项式的次数。

将式(13)代入式(9)可得沉降区域的轨道几何形位改变定量函数表达式。区域I 和VIII 的轨道几何形位改变为0。由于拟合定量函数表达式存在计算误差，轨道几何形位改变曲线在每个区域的衔接部分不连续，所以在不连续处需要进行平滑处理以保证轨道几何形位连续性。

表 2 各段包含边墩不均匀沉降差d 的拟合系数Table 2 Fitting coefficient of each deformation section considering uneven settlement d of side pier

为了将连续梁跨度 L 纳入上述所得定量函数表达式中，继续计算40 m+60 m+40 m 和60 m+100 m+60 m 连续梁桥跨度时各变形区域的边墩不均匀沉降差引起的轨道几何形位改变数据，经过分析最终提出了适用于不同连续梁桥跨度下，边墩不均匀沉降差与轨道几何形位改变的层间变形协调关系定量函数表达式，如下所示：

式中，C=176/L ，X=0:Lfa:x/CLfa为扣件间距。

2.4 轨道层间变形协调关系的验证

为验证所提出的边墩不均匀沉降差与轨道几何形位改变的层间变形协调关系的拟合精度。首先，采用APDL 模型、已有文献解析模型[6]与本文轨道层间变形协调关系模型分别计算相同条件下的轨道几何形位改变；之后，编制高速列车-连续梁桥-轨道-路基耦合动力程序，将由上述三种模型计算的轨道几何形位改变作为激励输入轮轨界面，对比列车通过三种轨道不平顺的动态特性，从车-桥耦合动力学的角度验证轨道层间变形协调关系表达式。

2.4.1 轨道几何形位改变的验证

对文献[6]中计算桥墩引起轨道几何形位改变的解析模型进行简述。将考虑引桥与路基及其上轨道结构影响的CRTS II 型无砟轨道-连续梁桥系统从左至右依次划分成路基左段，i(i=0,1,2,···)跨左侧非相邻简支梁，左侧相邻简支梁，三跨连续梁，右侧相邻简支梁，j(j=0,1,2,···)跨右侧非相邻简支梁，路基右段。在每一部分的左端建立局部坐标系，设钢轨的变形函数为u(x)Rm，左、右侧路基和桥梁结构的变形函数分别为u(x)BI、u(x)BIX和u(x)Bm。

钢轨的弯曲应变能 Um可表示为：

层间扣件的弹性势能 Km可表示为：

式中，相应参数注释见文献[6]。

根据势能驻值原理δΠ=0，微分方程及自然边界条件可分别表示为：

由边界条件、位移协调方程，求解代数方程组，可得桥墩与轨道几何形位改变的解析表达式。

由图6 知，三种模型计算的边墩不均匀沉降引起的轨道几何形位改变曲线基本重合，最大相对误差均不超过5%，满足工程应用实际精度，表明本文提出的轨道层间变形协调关系定量函数表达式可有效反映边墩不均匀沉降差致轨道产生几何形位改变的特征。

2.4.2 列车-轨道-桥梁系统动态特性验证

由图6 知，虽然三种模型计算的轨道几何形位改变曲线基本重合，但当局部放大后，本文模型与其他两种模型的计算结果仍存在细微差别，已有研究表明较小的钢轨变形仍可能引起车辆与桥梁动力学性能的较大变化，因此需进一步讨论本文模型在求解车-桥耦合动力学性能方面的准确性。

建立列车-轨道-桥梁耦合系统动力学模型[29-30]。

1)列车方程

根据D'Alembert 原理，车辆动力学方程用矩阵的形式可以表示为：

图 6 不同方法求得边墩不均匀沉降引起的轨道几何形位改变曲线对比Fig.6 Comparison of track geometry change curves caused by uneven settlement of side piers calculated by different methods

式中， Qu为荷载向量，下标 u代表车辆结构；Mu、 Cu和 Ku分别为列车的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。

2)无砟轨道-桥梁单元质量矩阵

无砟轨道-桥梁单元的质量矩阵由桥梁、轨道板和钢轨质量组成：

综上，运用Lagrange 方程，无砟轨道-桥梁系统的动力方程为：

3)系统方程

由于列车和无砟轨道-桥梁的方程通过轮轨接触力和轮轨接触位移相互耦合，故可根据各个子系统的动力学方程，建立列车-无砟轨道-桥梁耦合振动系统的动力学方程组，如下所示：

式中：Qug、 Qlg分别为列车、无砟轨道-桥梁结构重力向量； Ful为轮轨接触力向量。

通过轮轨间的位移协调关系和相互作用力平衡条件，建立列车-轨道-桥梁间的联系，采用Newmark-β法对列车-轨道-桥梁耦合振动非线性微分方程组进行迭代求解，将三种模型求得的轨道几何形位改变作为激励输入轮轨界面，对比分析列车-轨道-桥梁系统动态特性。

分析8 节列车以300 km/h 从左端路基驶入桥梁方向至末节列车驶离右端路基时的列车和连续梁桥结构的动力学性能评价指标(连续梁加速度、轮重减载率、车体垂向加速度和轮轨垂向力)。如图7(a)～图7(d)所示，三种模型求得的轨道几何形位改变曲线作用下车-桥动力学性能指标对比曲线除局部有数值差异外，在变化趋势上基本一致，满足工程应用精度。表明三种模型均可用于求解高速铁路连续梁桥边墩不均匀沉降引起的轨道几何形位改变问题。

采用配备八核i7-9700CPU，32 GB 内存，GTX4GB 独显的高性能计算机对数值方法和本文方法的计算时间进行对比，计算结果如表3 所示。由表3 可见，相比于APDL 模型，本文模型可大大缩短建模计算时间。

3 边墩不均匀沉降对舒适性与安全性的影响

采用上述列车-轨道-桥梁耦合动力学模型，将层间变形协调关系函数表达式得到的不同连续梁桥跨度、不同边墩不均匀沉降引起的轨道几何形位改变作为轮轨系统的激励输入到轮轨界面，分析边墩不均匀沉降对列车运行平稳性、乘客乘坐舒适性和运行安全性的影响。

图 7 基于不同轨道几何变形计算方法的动力学性能指标比较Fig.7 Comparison of dynamic performance indexes based on track geometry deformation calculated by different methods

表 3 边墩不均匀沉降致轨道几何形位改变的求解时间Table 3 Solving time of track geometry change caused by uneven settlement of side pier

以时速350 km/h 的CRH3 型高速列车为例，高速列车CRH3 的基本参数见表4，对反映列车运行平稳性的车体垂向振动加速度指标、反映舒适度的斯佩林指标、反映列车安全性的轮重减载率指标以及反映列车与轨道动态作用性能的轮轨垂向力指标进行了计算[31-32]，计算结果如图8～图11所示。

由图8 可知，不同跨度情况下车体垂向加速度均随边墩不均匀沉降差的增加线性增大；同一边墩不均匀沉降差情况下，车体垂向加速度并不随跨度的增加线性增大，40 m+60 m+40 m、60 m+100 m+60 m 及48 m+80 m+48 m 跨度下基于垂向加速度的沉降差限值分别为32.5 mm、23.1 mm 及22.5 mm。可见，存在临界跨度使得当列车以某一速度通过沉降区域时，其受到的附加激励频率最接近车体的自振频率，形成共振效应，加剧列车运行平稳性。

由图9 可知，斯佩林指标随边墩不均匀沉降差和跨度变化呈非线性增长趋势。当边墩不均匀沉降差小于10 mm 时，斯佩林指标随桥梁跨度的增大有减小的趋势；沉降差大于10 mm 时，斯佩林指标随桥梁跨度的增大而增大。因此，采用大跨度连续梁桥可一定程度减弱边墩不均匀沉降差对行车舒适度的影响，降低旅客乘车的疲劳程度。

由图10 可知，边墩不均匀沉降差小于25 mm时，列车轮重减载率指标随桥梁跨度的增加而减小；在连续梁桥跨度为40 m+60 m+40 m 的情况下，列车轮重减载率指标在边墩不均匀沉降差小于50 mm 时，均未超《高速铁路设计规范》限值；48 m+80 m+48 m 跨度和60 m+100 m+60 m 跨度情况下，基于轮重减载率的连续梁桥边墩不均匀沉降安全限值分别为41 mm 和47.5 mm。

由图11 可知，不同连续梁桥跨度情况下，列车轮轨垂向力均随边墩不均匀沉降差的增加而增加，在选取的边墩不均匀沉降差内，列车轮轨垂向力最大值为111 kN，轨道动态作用指标均未超过《高速动车组整车设计规范》规定的170 kN 的限值。同一沉降差工况下，轮轨垂向力随跨度的增加而有所减小，可见，采用大跨度连续梁桥可有效降低轮轨力，缓和列车与轨道动态作用。

表 4 高速列车基本参数Table 4 Basic parameters of the high-speed trains

图 8 列车运行平稳性指标随边墩不均匀沉降的变化Fig.8 Change of train running stability index with uneven settlement of side pier

图 9 乘客乘坐舒适度指标随边墩不均匀沉降的变化Fig.9 Change of passenger ride comfort index with uneven settlement of side pier

图 10 列车安全性指标随边墩不均匀沉降的变化Fig.10 Change of train running safety index with uneven settlement of side pier

图 11 列车与轨道动态作用指标随边墩不均匀沉降的变化Fig.11 Change of dynamic interaction index between train and track with uneven settlement of side pier

4 结论

本文基于APDL 建立了考虑引桥与路基及其上轨道结构影响的高速铁路CRTS II 型无砟轨道-变截面连续梁桥系统精细化有限元模型。大量的计算并分析了边墩不均匀沉降差引起轨道几何形位改变的轨道层间变形协调关系。基于线性回归方法获得不同连续梁跨度条件下，边墩不均匀沉降差与轨道几何形位改变的层间变形协调关系的定量函数表达式，最后基于所提出的定量函数表达式研究边墩不均匀沉降对列车运行平稳性和安全性的影响，获得到以下主要结论：

(1)本文模型、APDL 模型及文献模型计算的边墩不均匀沉降引起的轨道几何形位改变曲线吻合较好，拟合精度最大相对误差均不超过5%，论证了本文模型的合理性。

(2)在三种模型求得的轨道几何形位改变曲线激励下，车-轨-桥耦合动力学性能指标对比曲线除局部有数值微小差异外，在变化趋势上基本一致，说明本文模型能有效满足工程应用精度。

(3)在边墩不均匀沉降工况下，存在激振频率接近车体自振频率的临界跨度，发生共振时，显著恶化列车运行平稳性，采用大跨度连续梁桥可一定程度减弱边墩不均匀沉降差对行车舒适度的影响，降低旅客乘车的疲劳程度。

(4)沉降差小于25 mm 时，轮重减载率随连续梁跨度的增加而变优，同一沉降差工况下，轮轨垂向力随跨度的增加呈减小的趋势。