透析联考试题特点 明确高考备考方向*——2021年八省市高考适应性考试试题评析及备考方向与建议

广东省广州市增城中学(511300) 肖海英

一、问题的提出

随着新高考改革的推进,2021年6月7-9日新高考模式将在全国8 个省(河北、辽宁、湖北、湖南、江苏、福建、广东、重庆)正式实施,为了让学生对新高考模式有所适应与准备,2021年1月23-25日举行了2021年教育部新高考八省市联考考试(以下简称为高考适应性考试),其中语文、数学、英语三个学科由教育部命题中心统一命题,其余六科由各省自主命题,新高考数学将不再分文理科.从这次适应性考试后学生的整体反应来看,数学学科反响比较强烈,有些出乎学生的预料.整份试卷没有不良结构题,但很多题目学生做起来感觉比较困难.笔者对此次高考适应性考试数学试题进行了深度剖析,对新高考备考方向与高三复习备考提出了一些自己的建议.

二、2021年高考适应性考试试题分析

(一)试题考查的知识点、数学思想、核心素养

题 号考查知识点考查形式数学思想与方法核心素养分 值1集合关系与运算选择题(单选)数形结合思想数学抽象5 2概率与统计(古典概型)选择题(单选)概率统计思想数学建模5 3简易逻辑选择题(单选)归纳推理思想逻辑推理5 4解析几何(椭圆)选择题(单选)数形结合思想数学运算5 5平面向量选择题(单选)数形结合思想数学运算5 6二项式定理(系数)选择题(单选)归纳推理思想逻辑推理5 7解析几何(直线、圆、抛物线)选择题(单选)数形结合思想数学运算5 8函数与导数(不等式)选择题(单选)函数与方程思想数学建模5 9函数与导数(性质)选择题(多选)函数与方程思想逻辑推理、数学运算5 10复数(抽象运算)选择题(多选)类比与转化思想数学抽象5 11立体几何(折叠问题)选择题(多选)数形结合思想直观想象、数学建模5

12三角函数(性质)选择题(多选)函数与方程思想逻辑推理、数学运算5 13立体几何(圆台体积)填空题类比与转化思想数学建模5 14解析几何(直线斜率)填空题数形结合思想逻辑推理、数学运算5 15三角函数(周期、奇偶)填空题(开放式命题)归纳推理思想数学建模5 16概率与统计(正态分布)填空题概率统计思想数据分析、数学运算5 17数列(等比)解答题化归与转化思想逻辑推理、数学建模10 18三角函数(解三角形)解答题数形结合思想数学建模、数学运算12 19概率与统计(分布列、期望)解答题概率统计思想数学建模、数学运算12 20立体几何(数学文化)解答题(创新题)类比与转化思想、数形结合思想直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析、数学运算12 21圆锥曲线(双曲线)解答题数形结合思想逻辑推理、数学运算12 22函数与导数解答题分类讨论思想、函数与方程思想逻辑推理、数学运算12

(二)试题结构分析

数学主干知识是支撑数学试卷的顶梁柱,数学题型也是相对比较稳定的,但高考对热点知识的考查年年有新颖的题目出现.本次高考适应性考试主要围绕主干知识的考查,其中函数与导数22 分(第8、9、22 题);三角函数与解三角形22分(第12、15、18 题);立体几何22 分(第11、13、20 题);解析几何27 分(第4、7、14、21 题);概率与统计22 分(第2、9、22题);数列10 分(第17 题).这六个主要知识模块所占分值达125 分,占全卷的83.3%,其余涉及到的几个知识点也是历年高考的高频考点: 集合、简易逻辑、复数、平面向量、二项式定理各5 分,共25 分,占全卷的16.7%.本次高考适应性考试在整体结构上的分布与历年全国高考试题基本一致,起到了很好的高考导向性作用.

(三)学生失利原因分析

笔者通过对本校学生考完高考适应性考试后的样本了解得知,本次考试学生数学科失利的主要原因有以下几个方面:

1 学生的思变能力“欠缺”本次高考适应性考试对集合(第1 题)、二项式定理(第6 题)、复数(第10 题)、圆台体积(第13 题)等基本知识点(高频考点)的考查不再像以往考试中那么简单,每题都有一定的思维含量,涉及到多个知识点的综合考查,有一定难度.如第1 题集合考查的是抽象集合的运算,需要学生去经过逻辑推理,再利用数形结合(韦恩图或数轴)作图才能作答,完全不同于以往具体集合的运算(但此题实际上也可以将抽象集合具体化后快速求解,如令CRM= (1,2),N= (0,3)求解即可);第6 题对二项式定理的考查比较灵活,不再是常见的求指定项系数问题,需要合并组合数后才能快速求解(利用公式计算=120),当然学生也可以每个组合数都计算出来,但那样会浪费很多时间;第10 题对复数的考查以多选题形式出现,考查复数的相关运算,但不同于以往具体复数的直接四则运算,很多学生不会把三个复数具体化再去逐个选项排除作答(如令z1=1+ⅰ,z2=1−ⅰ即可快速排除A、D 选项);第13 题圆台的体积公式平时教学中老师一般不要求学生记忆,很多同学一看就慌了,却忘记了圆台的本质是用一个平行于底面的平面去截取圆锥而来的,可以用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即可得到圆台的体积;由于学生的思变能力“欠缺”,导致平时熟练的几个高频考点题不会做, 这让很多同学在心理上被打了个“措手不及”, 在自信心与答题节奏上一开始就有点“乱套”了!

2 学生的解题模式“固化”本次高考适应性考试试题最大的特点是打破以往惯例,考查内容与形式都与以往考试有较大差异,摆脱了所谓的“解题套路”! 前四个大题(得分的主战场)中第17 题(数列)考查的是数列连续三项的一个递推关系,需要先化归成等比数列求出相邻两项之间的递推式,再利用“同除法”或“奇偶分项与叠加法”化归后才能求出通项公式.由于近几年全国卷对数列的考查相对比较简单(一般为第一或第二道大题),大多数一线教师在此模块降低了相应教学难度, 一般只涉及到由相邻两项的递推公式求通项,解题模式已经“固化”,学生平时几乎没有碰过连续三项的一个递推关系,所以几乎无从下手.本来此题亦可以用“数学归纳法”去归纳、猜想、证明快速解决问题,但由于新课程改革,新教材中“数学归纳法”已被删除,所以很多一线教师根本没有给学生教授此知识点! 第18 题(解三角形)考查背景是以梯形为载体,需要在不同的三角形中多次使用余弦定理才能解决问题,而且计算比较繁琐,最终结果比较复杂(带根号),对于运算能力较差的同学又是一个“挑战”.在对后两题压轴题的考查中,第21 题(解析几何)的考查是以双曲线为载体,打破了椭圆和抛物线在高考中的“垄断”地位,从解法上摆脱了“联立”的枷锁,应该引起我们足够重视,第二问的证明问题需要将角度问题转化为对应直线的斜率问题去求解,进一步明确了新课标中有关解析几何模块的学业要求: 能够根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化为代数问题.

3 学生的答题策略“不当”新高考模式结构上与以往高考最大的不同点是选择题由原来的12 个单选题变为8 个单选题和4 个多选题,每个小题的分值还是5 分不变,但其中多选题全对5 分,少选2 分,选错0 分.其中多选题的考查对学生提出了更高的综合能力要求.如本次高考适应性考试试题的4 个多选题中第9、10、12 题的四个选项都是考查不同内容,如果学生不能快速排除干扰选项,而是每个选项逐一解答,那就等同于用了解4 个题的时间去解一个题,这对本来答题时间就不够的学生来说无疑“雪上加霜”.如第9 题A、C 选项需要先求导数才能求解,但B、D 选项是可以直接根据零点为0 和定义域不关于原点对称来快速排除的.放弃多选题不甘心,完成它又担心挤占了做后面的大题的时间,使多选题成为了学生难以突破的一个“瓶颈”! 但新高考设置多选题的初衷是让不同层次的学生获得不同的分数,更好的检测出不同层次学生的水平,同时避免心存侥幸心理的学生蒙混过关,真正发挥高考“选拔人才”功能,学生考试时应该根据自身情况进行“取舍”,快速作答,亦可尝试用“特值排除法”去解决多选题.

三、新高考模式下的备考方向与复习建议

(一)注重学生基础知识的同时,重视对数学本质问题的剖析

本次高考适应性考试命题特点充分体现了数学的本质问题.一线教师在以后的高考备考中,除了重视对数学本身的基础知识体系的系统复习外,应该加深学生对数学概念本质的理解,减少纯粹的机械与模仿式刷题和寻找所谓的“解题套路”.平时训练应该多引导学生了解数学的本质,让学生学会从不同的角度去思考与解决问题,尝试一题多解,而不是解题模式“固化”为某种题型只能用某种方法解决,应该培养学生的发散思维,提高思变能力.如第17 题数列题就可以尝试多种方法去求解.

题目1(2021年高考适应性考试第17 题)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an.

(1)证明: 数列{an+an+1}为等比数列;

(2)若a1=求{an}的通项公式.

(1)解法一(按题目构造好的数列结构直接进行配凑)由an+2=2an+1+3an可得

所以

因为数列各项都为正数,所以a1+a2＞0,所以{an+an+1}是公比为3 的等比数列.

(1) 解法二(按等比数列定义直接证明) 因为an+2=2an+1+3an,所以

因为数列各项都为正数,所以a1+a2＞0,所以{an+an+1}是公比为3 的等比数列.

(2)解法一(同除法)a1=所以a1+a2=2,由(1)可得数列{an+an+1}是以2 为首项,3 为公比的等比数列,所以

由(∗)得到an+1=−an+2·3n−1,即令bn=则bn+1=bn+2,有

(2) 解法二(奇偶分项、叠加法) 由(∗) 得到an+1+an+2=2·3n,所以an+2−an=2·3n −2·3n−1=4·3n−1,当n为奇数时,

所以an=当n为偶数时,

所以an=综上,所以an=

(2) 解法三(数学归纳法) 因为an+1=−an+ 2×3n−1, 所以猜想an=用数学归纳法证明如下:

(ⅰ)当n=1 时,a1=猜想成立;

(ⅰⅰ) 假设n=k(k≥ 1,k ∈N)时猜想成立, 即ak=那么n=k+1 时,所以ak+1=−ak+2·3k−1=所以n=k+1 时猜想也成立.

综合(ⅰ)(ⅰⅰ)可得,对一切n ∈N 都有an=成立.

(二)重视对学生数学应用能力的培养,增强实践性

广泛的应用性是数学的基本属性,数学已成为人们日常生活不可或缺的重要方面, 科学技术的进步更离不开数学.将数学知识运用于实践,是公民的基本素养,对数学应用能力的考查也是高考数学试卷的重要内容.近几年高考把概率统计题在整套试题的排位后移,难度加大,是高考增强实践性的重要信号,值得我们认真关注和研究,很多学生不能从实际问题的背景材料中提取有效的数据信息是此题最大的“障碍”所在.

如本次高考适应性考试第2 题(生活中的概率问题,此类概率问题在实际生活中应用很多)、第16 题(正态分布问题, 此类概率问题是工业生产中常用的3σ检验)、第19 题(概率统计题)都重在考查数学的实际应用,将实际问题转化成数学模型,利用数学工具、思想去分析和解决生活中的实际问题.其中第19 题在进行数据分析时环环相扣,解决实际问题时必须有清晰的思路,分类必须全面.

题目2(2021年高考适应性考试第19 题)一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3 需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.

(1)求设备在一天的运转中,部件1,2 中至少有1 个需要调整的概率;

(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.

解(1) 设部件1 需要调整为事件A, 部件2 需要调整为事件B, 部件3 需要调整为事件C, 由题意可知:P(A) = 0.1,P(B) = 0.2,P(C) = 0.3.部件1, 2 中至少有1 个需要调整的概率为: 1−[1−P(A)][1−P(B)] =1−0.9×0.8=1−0.72=0.28.

(2)由题意可知X 的取值为0,1,2,3.且:

故X 的分布列为:

X 0 1 2 3 P (X)0.504 0.398 0.092 0.006

其数学期望:E(X) = 0.504×0+0.398×1+0.092×2+0.006×3=0.6.

(三)加强对学生数学核心素养的培养和数学文化的浸润

数学核心素养是数学课程目标的集中体现,是需要学生在数学学习的过程中逐步形成的.今后一线教师在日常教学中在注重基础知识教授的同时,应该重视对学生数学核心素养的培养和数学文化的浸润.

纵观近年来全国卷试题,明显加大了对数学文化的考查,如2018年高考理科第10 题借助于古希腊数学家希波克拉底在研究化圆为方问题(月形定理)时曾研究过的几何图形考查了几何概型,充分体现了几何之美;2019年高考理科第4 题借助于“断臂维纳斯”考查了数学中有名的“黄金分割”;2020年高考理科第3 题借助于“埃及金字塔”考查了立体几何中的相关几何量的运算.这些试题注意吸收世界数学文化的精华,从而引导学生热爱数学文化,同时契合《考试大纲》中对数学文化考查的要求,同时充分体现了高考会越来越注重对学生人文素养的考查!

本次高考适应性考试在考查学生数学核心素养方面非常全面.如第11 题、第13 题、第20 题以“立体几何”为载体,考查了考生“直观想象、逻辑推理、数学建模和数学运算”等素养;如第1 题、第3 题、第10 题重在考查学生逻辑推理、数学运算等素养;如第2 题(生活中的概率问题)、第16 题(工业生产中的3σ检验)、第19 题(概率统计问题)等应用题重在考查学生数学建模、数学运算等素养;如第21 题(函数与导数)重在考查学生的逻辑推理与数学运算等素养,分类讨论较多,此题的区分度也就在这里体现出来! 如第20 题(立体几何)的考查是全卷的一个“亮点”(考查内容与形式的转变),也是全卷最大的“创新点”(立体几何题以应用背景出现,在考试中属于首次,是一种大胆创新与尝试,应该引起我们足够重视),该题以北京大兴国际机场为载体,引进“欧拉公式”去考查多面体的曲率问题,大胆打破了传统意义上对立体几何的解答题考查形式(位置关系的证明,空间角的求法).此题对学生核心素养能力的考查达到了极致,学生必须通过直观想象(机场形状)、逻辑推理(由正四面体到四棱锥再到普通多面体)、数学建模(欧拉公式)、数据分析(多面体顶点、棱数、面数、面角之间的关系)、数学运算等环节才能解决问题,而且环环相扣,是全卷最难得分的一道题,绝大部分同学连题目都没有看懂,根本无从下手,答卷基本是空白的,这对于此题想拿满分的绝大多数同学来说是个不小的“冲击”!

(四)强化数学思想方法和注重通性通法,把基础与创新相结合

高考试题除了考查基础知识,基本能力外更注重基本数学思想方法的考查,注重通性通法,淡化技巧,把基础与创新相结合.数学思想方法具备很高的智力价值,是获得数学知识的重要手段,掌握了数学思想方法才能透彻理解数学知识,而且有助于创造能力的发展.

本次高考适应性考试如第2、16、19 题考查到概率与统计的思想;如第1、4、5、7、11、14、18、20、21 题都考查到数形结合的思想;第8、9、12、22 题考查到函数与方程的思想;第22 题考查到分类与整合思想,第3、6、10、13、15、17、20 题都考查到类比、归纳与转化思想;如第22 题(函数与导数)的考查中,作为压轴题综合性很强,由于函数模型是指数函数与三角函数的复合型函数,一次求导后学生无法直接求出导函数的零点,需要通过二次求导来讨论导函数的零点问题,从而得出原函数的单调性,所以绝大多数同学连第一问都无从下手,导致整题得分较差.第二问如果使用“洛必达法则”则可以快速求解,但一般同学根本就不知道这个法则,而利用普通方法解决此题需要分类讨论较多, 学生分类讨论不全,作答时间不够,难拿高分.但作为压轴题并没有设置难度较大的第三问,说明高考在选拔功能方面降低了对该内容的难度,但同时加强了对思维的广度和宽度的考查.

从历年高考学生的答卷总体情况来看,大部分考生对基础知识、基本技能掌握较好, 存在的主要问题有: 数学语言的表述不严谨、使用数学理论解决实际问题的建模能力较薄弱、迁移转化能力较差等.因此,今后数学教学已不再仅仅以“知能”为目的, 而是需要更加关注知识技能的形成过程和学习方式的多样化,让学生在多样化的数学活动中感受、体验数学的探索与创造,使学生对数学本质有深刻的理解,养成良好的数学学科素养.新高考背景下,高三数学的备考方向也应“与时俱进”,以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生多思考,引导学生把握数学内容的本质,在日常教学中不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值,让“数学核心素养”在高中数学日常教学中真正做到“落地生根”.