高等数学与中学数学教学衔接问题的研究——以导数的概念教学为例

（渤海大学 数学科学学院，辽宁 锦州 121003）

高等数学是大学理工类与经管类学科的专业必修课之一，在大学的学习中属于核心科目，旨在培养学生的逻辑思维能力和严谨的计算能力。高等数学是中学数学延续和提高，但是，中学数学的学习注重技巧和结论，往往忽视了理论本身，而高等数学的学习却要求学生深刻理解概念、法则，这就使得学生在学习思路上出现转换困难。因此，对中学数学和高等数学进行科学的衔接显得尤为重要。本文探讨了中学数学与高等数学在导数概念这节课教学内容、教学目标以及教学方法的区别，并针对这些差异对高等数学课程中的导数概念课程进行了教学设计。

一、高等数学与中学数学在教学中的差异

1.中学数学注重应试。在教学过程中，教学节奏比较慢，时间相对充裕，这就使得老师有时间去把知识点讲清、讲透，还有很多时间带领学生做大量辅助的练习题，一题多练、反复训练可以加深学生对某个知识点的记忆和理解，巩固某种题型的解题方法。还经常组织阶段性测试，以检测学生的学习效果、对知识的掌握情况，便于老师和学生找到学习中的薄弱之处并加以巩固。应试为目的的教学方法和手段，对于快速、高效地提高学习成绩无疑是有效的，但是由于学习过程中的一切步骤都被老师预先设定好，学生主动学习的能力和探索知识的求知欲被慢慢减弱，学习上极度依赖老师。

2.高等数学注重能力。到了大学阶段，在高等数学的教学过程中，教师的教学方式不再是细致入微，老师们在课堂上对知识做一个概括性的描述，对知识点加以准确、精炼的介绍，更多的是发挥教材的作用、凸出学生自主学习的重心。虽然也配以典型的例题辅助，但例题的数量较少，同类型例题出现的频率不高，注重的是以少而精的例题，全面展示知识的内容及应用，使学生能够举一反三，培养学生的数学思维，提高学习的综合能力。

二、高等数学与中学数学在导数概念教学中的差异

无论是在中学数学还是高等数学中，导数概念都是非常重要的知识点，同时也是高频考点。因此，在高等数学课程中就要做到了解学生已有的知识储备和能力，在此基础上做好导数这节课的衔接教学。本文对比了此课程在中学和大学两个学习阶段的差别，见表1。

表1 导数概念在中学数学和高等数学中的主要差异

三、高等数学课程中导数概念的教学设计

1.课程设计原则。在高等数学课程中，导数的思想贯穿整个高等数学课程的始终，而导数概念是这一思想的灵魂，对整个高等数学的教学起到了重要的作用。因此，本节课的教学设计一是要注意做到将导数概念的中学教学内容与高等数学内容进行衔接，便于学生去理解导数的概念；二是要以培养学生的数学素养、挖掘学生数学学习潜能以及培养学生创新精神为目标，通过创设问题情境、引发学生兴趣与思考、探究学习以及合作交流等方式，使学生既能够学会数学知识，同时还能够将所学知识用于解决实际问题。

2.课程设计思路。本节课采用线上与线下相结合的教学手段，课程教学分为三个环节：一是学生课前线上预习，教师提前在线发布预习提纲；二是师生线下课堂教学，在课堂教学中主要采用“生活实例教学法”+“讨论法”+“启发式教学法”的教学模式，其教学流程为：通过生活实例引入，创设问题情境；同类数学模型转换，引出问题；学生分组讨论，探究问题；引导学生，师生共同解决问题；总结知识点与方法，提出新问题引发学生深入思考；三是课后复习与作业，教师发布作业，学生线上提交作业。

3.教学目标要求。一是知识与技能目标。理解、掌握导数的概念、导数概念的几何意义和物理意义；掌握导数概念的三种形式；学会利用三步求导法求解与导数相关的问题。二是过程与方法目标。通过对导数概念的学习，掌握从具体到抽象的思维方法；学会观察、猜想、推理的数学思维过程；领悟极限的思想；提高类比、归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力。三是情感态度与价值观目标。通过相互交流、合作学习，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的逻辑性与严谨性。

4.教学过程设计。第一，创设问题情境。首先，情境1：求切线的斜率。复习中学学过的平均变化率与瞬时变化率的概念，结合函数曲线的图形推导出切线的斜率。其次，情境2：求物体做变速直线运动时的瞬间速度。侧重用极限来定义物体做变速直线运动时的瞬间速度。一是解释路程分布。路程分布就是动点所处的位置s是一个关于时间t的函数。设动点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1 的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，记动点于时刻t在直线上位置的坐标为（简称位置s），这样该点的运动完全由某个函数所确定，我们设函数对运动过程中所出现的t值有定义，即是路程分布（也称为位置函数）。二是解释速度（指的是匀速运动的速度）概念。所谓动点作匀速运动，指的是路程分布的变化是均匀的，也就是说动点移动的路程与所花的时间成正比，我们称此比值为动点运动的速度，记作ν（为常数）即：速度等于路程除以时间。三是研究非匀速运动的动点在某一时刻（设为to）的速度。设时间从to变到，动点的位置由变到。于是，在这段时间内动点的平均速度为这段时间所走过的路程与走过这段路程所用时间之比。这里，只能说明在这段时间内动点运动的平均快慢程度，而不能说明在这一瞬间的快慢程度，若想要更好地说明在这一时刻动点运动的快慢程度，就应该尽量让无限靠近零。但无论怎样靠近零，仍然不能反映时的情况。不过，当越是靠近零，就越接近时刻的情况。因此，很自然地，的极限如果存在，则记为，这时就把这个极限值称为动点在时刻时的瞬时速度。

在情境1 的教学中，侧重使用学生中学熟悉的平均变化率与瞬时变化率的关系引出切线斜率，从而体会导数的思想。在情境2 的教学过程中，要运用高等数学的极限思想去体会导数的概念，以因变量与自变量的增量比的极限存在性来讨论平均速度与瞬间速度的关系。

导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开自变量与因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量角度来精准刻画函数变化率的本质：因变量增量与自变量增量的比值是函数在以为端点的区间上的平均变化率，而点处的导数，则是函数y 在这一点处的变化率，它反映的是函数随自变量变化而变化的快慢程度。

第三，拓展导数定义的三种形式。导数定义中形式（1）是中学数学教学中导数的定义形式，形式（2）和形式（3）是高等数学中在函数思想下导数定义的两种灵活变化方式，每一种定义的变化形式都有其特有的意义和作用。

三种定义方式各有各的用途，在教学中对应给出3 道例题进行讲解，帮助学生理解。此教学环节需师生合作，拓展导数概念的三种形式，从而培养学生严谨的数学思想和科学的数学素养，学生通过对导数概念的灵活运用，锻炼了发散思维，提高了运算能力，学会了用理论解决问题的方法。

第四，课后作业与反思。中学数学教学活动的设计主要目的就是提高学习成绩，因此，无论课上还是课后，教师都会给学生布置大量的练习题，对于同一个问题探求多种解法，对于同一个知识点通过不同的题型去深入理解和掌握。大学阶段重点要培养的是学生学习的独立性和逻辑思维能力，因此，为了培养学生自主学习的能力，在课后除了给学生布置巩固课堂知识的作业外，还要留给学生探索新知识和拓展所学知识的空间和内容。