应急装备制造网络的动态资源配置

裴 植 戴 旭 袁依轮 易文超 陈 勇

浙江工业大学机械工程学院，杭州，310023

0 引言

装备制造业的发展水平是国家制造能力和科技实力的体现，在当前生产网络化大背景下已形成了以核心制造企业为主导，协同上下游企业和其他服务外包企业的网络结构[1]。面对突发公共卫生事件，管理部门及相关企业需要快速响应，包括及时分配应急装备物资、合理制定生产计划来控制传染病扩散[2]，关键的应急物资包括呼吸机、防护服等医疗装备以及余氯快速测定仪等监测装备。在装备生产过程中,系统状态、质量和关联关系存在随机性，制造服务信息具有时变性[3]。应急装备的制造需求呈现出实时性强和波动性高的特征，从而实时影响着所对应任务之间的功能需求和流程需求[4]，使得动态资源的有效配置成为应急装备制造服务网络中亟需解决的问题之一。

为提高制造企业的竞争力，孙林岩等[5]提出融合制造与服务的服务型制造(service-oriented manufacturing, SOM)新模式，其整合、增值和创新等特点可促进制造业结构升级和区域经济的均衡发展。近十余年来，服务型制造作为一种新型制造模式越来越受到国内外企业界和学术界的重视[6]，制造型服务商和服务型制造商组成的服务型制造网络可整合资源、协同制造以及共享利益。服务型制造企业为简化生产环节以增强企业竞争力，会模块化分解生产工序，并将非核心制造业务外包给网络中其他节点企业，或在市场直接采购原材料或半成品[7]。基于服务型制造网络云结构，单子丹等[8]构建了服务型制造网络流程的优化模型，其研究结果表明，客户需求的不确定性会影响服务型制造网络(service-oriented manufacturing network, SOMN)的制造流程。

原毅军等[9]指出，装备制造业的网络结构中存在耦合关系，不同企业在制造网络中需要共享信息、相互协调，为核心制造企业提供支持。为定量化解决不确定需求下的应急装备制造网络节点设计问题，向峰等[10]制定了服务水平等级协议以对制造服务能效进行评估。在应急装备生产过程中，生产数据信息具有随加工过程的时变特性，这对跨企业间的数据、信息和知识的协同与交互效能提出了更高的要求，针对此，WU[11]将排队网络模型应用于制造服务网络的性能分析。针对由制造集成商、服务承包商与需求市场组成的产品服务供应链，彭永涛等[12]借助变分不等式探讨各节点的最优决策与均衡条件，分析产品服务关联度、客户异质性偏好和服务水平对供应链网络中自营和外包服务流的影响。针对具有排队现象的服务型供应链，SCHONLEIN等[13]利用近似流体排队模型分析了网络结构的稳定性。在制造车间层级，NEGRI等[14]基于开环排队网络和近似参数分解算法权衡生产资源投资成本和在制品的库存成本，可有效求解作业网络的资源分配。考虑供应链网络中商品的变质具有不确定性，HANUKOV等[15]利用排队模型减少产品在配送中心的驻留时间，并构建了针对运营成本与碳排放的多目标鲁棒优化模型。由于应急装备订单的到达具有高度动态性和不确定性，故本文假设制造服务网络的产品流具有时变函数形式，KIM等[16]的研究曾证明该函数形式的到达过程符合非齐次泊松过程(NHPP)的性质。

应急装备制造服务网络的节点设计包括设施布局、资源配置以及资源调度等问题。为解决装备制造服务中的资源建模、资源需求、资源搜索、资源匹配和资源响应等问题，沈磊等[17]建立了面向装备制造行业的云制造服务需求与资源响应模型，并采用直觉梯形模糊集匹配算法进行求解。针对应急装备的制造网络设计需要同时考虑需求的不确定性和时效性，制造等待时间过长将会导致客户撤销订单，故应急装备制造具有产品交货期短、生产加工和运输时间短等苛刻的服务要求。针对有高时效性要求的制造服务网络，ASKIN等[18]结合时变的制造需求分析系统的性能指标，通过仿真方法验证近似算法的有效性。

现有文献鲜有涉及在外部需求符合NHPP时，考虑带有系统性能约束的制造服务网络资源配置优化问题。为此，笔者首先建立一个三层级制造服务网络，据此构建四个节点的排队网络模型；然后在满足制造服务网络的服务水平下分别考虑每个环节的资源动态配置问题，提出基于排队论的近似公式；最后通过数值算例分析与仿真验证检查算法的有效性。本研究可为面向应急装备的制造服务网络提供资源配置的理论依据和管理建议。

1 问题描述与模型构建

面向应急装备的制造服务网络的动态资源配置需考虑客户需求到达的高波动性及客户需求的时效性特点。应急装备制造服务网络的耦合性质使得每个制造服务环节的资源配置存在较大难度。本节将基于时变排队网络理论对应急装备制造服务网络进行分析，针对服务资源动态配置问题构建数学模型并提出求解算法。

1.1 问题描述

考虑一个以应急装备核心制造商主导上下游企业的外包型制造服务网络，其中核心制造商包含收货理货、加工制造以及包装运输三个环节，首先由核心制造商收货理货，再根据生产计划联合生产承包商执行制造服务，最后由核心制造商集中完成包装运输。

当客户随机产生制造需求后，会由下游制造商向核心制造商订货，订单资金流由下游制造商指向核心制造商；核心制造商会将原材料需求发送至上游制造商，订单资金流由核心制造商指向上游制造商；同时核心制造商为了提高自身效益会将非核心业务外包给生产承包商，订单资金流由核心制造商指向生产承包商。信息流存在于两两交互的制造网络各成员企业之间。上游制造商为下游制造商提供制造服务，其间原材料和在制品等产品方向则与订单资金流方向相反，如图1所示。

为有效控制制造服务网络的运营成本，制造商会提高资源利用率，不会超额配置制造服务资源数量。当制造服务环节资源不足时，产品会出现等待现象从而在缓存区内滞留，而产品等待时间过长会导致客户取消制造需求，即产生客户放弃制造服务的行为。为满足每个制造服务环节的服务水平，即客户放弃比例不超过管理人员设置的目标值，笔者构建优化模型并设计求解算法来最优化配置制造服务资源。

1.2 模型描述

由于应急装备制造网络下游的订单需求符合NHPP的性质，因此产品流从上游制造商向下游制造商的传输过程也具有相应的随机波动性，每个制造服务环节在满足服务水平的要求下都需最优化安排各自资源。当下游制造商有销售需求时，会向核心制造商订货。核心制造商根据下游制造商的订单信息向上游制造商购买原材料半成品等产品。核心制造商从上游制造商处将原材料等收货理货后，将非核心业务的生产环节外包给生产承包商，由其完成后再交回包装运输环节，产品经包装运输后送至下游制造商，每一个环节均存在缓存区供待加工产品暂存。

图1 应急装备SOMN结构Fig.1 Structure of SOMN for emergency equipment

结合图1应急装备SOMN中核心制造商和生产承包商的产品流，组成收货理货、自营制造核心业务、生产外包非核心业务和包装运输四个环节，构建如图2所示的排队网络模型。图2中，λi(t)为产品在时刻t到达制造服务环节i的速率函数；ξi(t)为时刻t客户在缓存区i实际放弃的速率函数；σi(t)为时刻t产品在制造服务环节i完成后离开的速率函数；Qi(t)为时刻t产品在缓存区i的等待的产品函数；Bi(t)为时刻t产品在制造服务环节i所需的繁忙服务资源函数；p为概率。其中，i=1,2,3,4。i=1表示收货理货环节；i=2表示自营核心制造服务环节；i=3表示生产外包的承包服务环节；i=4表示包装运输服务环节。为使模型贴合实际应急装备的加工过程，通过建立通用排队网络模型来表达服从一般分布的服务时间，并将排队模型近似为8个无穷服务器(infinite server, IS)所组成的延迟服务器网络(delayed infinite server network, DISN)模型。上游到达的产品承担客户的角色，核心制造商和生产承包商组成的4个环节所需配置的制造服务设施分别承担服务器的角色。每一个环节的制造服务设施数量都是有限的，因此存在缓存区承担队列的角色，从而缓存区中的应急装备超过一定时间将会导致制造需求的撤销即客户放弃现象。

图2 应急装备制造排队网络结构Fig.2 Structure of emergency equipment manufacturing queueing network

服务型制造网络中由核心制造商和生产承包商中的收货理货、自营制造、生产外包和包装运输4个环节组成了Mt/(GI,GI,GI,GI)/(st,st,st,st)+(GI,GI,GI,GI) 排队网络模型，前面4个GI分别表示4个环节的制造服务时间满足一般独立累积概率分布，后面4个GI分别表示顾客放弃等待时间服从一般独立累积概率分布，4个st分别表示4个制造服务环节所配置的服务资源数量。产品流进入核心制造商的收货理货环节为到达速率函数λ1(t)服从NHPP，因等待时间超过耐心范围后客户的放弃速率函数为ξ1(t)，产品在收货理货环节完成服务后的离开速率函数为σ1(t)，假设自营核心业务进入核心制造环节的概率为p，即外包非核心业务进入生产承包商的概率为1-p。由此，产品进入核心制造环节的到达速率函数为λ2(t)=pσ1(t)，因等待时间过长造成客户放弃的放弃速率函数为ξ2(t)，产品在核心制造环节完成制造服务后的离开速率函数为σ2(t)，随即进入包装运输环节。产品进入生产承包商的到达速率函数为λ3(t)=(1-p)σ1(t)，因等待时间超期产生放弃的放弃速率函数为ξ3(t)，产品在生产承包商完成制造服务后的离开速率函数为σ3(t)，随即进入包装运输环节。产品进入包装运输环节的到达速率函数为λ4(t)=σ2(t)+σ3(t)，客户放弃速率函数为ξ4(t)，产品在包装运输环节完成服务后的离开速率函数为σ4(t)。

1.3 模型构建

基于1.2节建立的应急装备制造排队网络模型，在不超过目标放弃比例的前提下，构建最小化制造服务资源配置数量的优化模型：

(2)

(3)

si(t)∈N0≤t≤T

(4)

i∈I,I={1,2,3,4}

式(1)表示目标函数为制造服务最小化配置数量；式(2)表示产品在缓存区中的放弃数量不能超过目标值εi，不等式左边积分项为产品在缓存区中放弃事件的累计过程；在式(3)中由给定每一类缓存区中的目标放弃比例αi可算得目标放弃数量εi，不等式右边λi的积分项为产品在制造服务环节i到达的累计过程；式(4)表示4个制造服务环节的资源配置数量均为非负整数N，时间取值范围为0≤t≤T。

2 模型求解

由于1.3节的优化模型难以直接求解，可采用流体近似算法[19]进行分析。针对Mt/G/∞排队模型，最早由EICK等[20]提出无限服务器(IS)近似算法计算繁忙服务器数量。针对考虑客户放弃行为的Mt/GI/st+GI排队模型，为了稳定队列性能，LIU等[21-22]提出DIS流体近似算法求得服务器配置策略。针对核心制造商和生产承包商组成的服务型制造网络模型，本文将收货理货环节构建为Mt/GI/st+GI排队模型，而将自营制造环节、生产外包和包装运输环节均构建为·/GI/st+GI排队模型，符号“·”表示到达过程是上游制造服务环节的离开过程。因此提出网络结构的DISN近似算法分别对4个制造服务环节使用流体近似算法求解。

2.1 DISN近似算法

根据前文的应急装备制造网络结构，提出基于排队网络模型的DISN算法求解每个制造服务环节的资源配置数量。

证明：

2.2 低QoS下的DISN-OL近似算法

对于一个非负随机变量Z，其均值为E[Z]，累积概率分布函数为H，H(x)≡P(Z≤x)。令Ze为服从He函数的随机变量，He为H函数对应的剩余生命周期的累积概率分布函数，即

其中，随机变量Ze满足

E[Ze]=E[Z2]/(2E[Z])

定理2 对于应急装备制造网络结构为Mt/(GI,GI,GI,GI)/(st,st,st,st)+(GI,GI,GI,GI)的排队网络模型，产品到达速率为λi(t)。低服务水平即高目标放弃比例αi>0，则对应目标等待时间为wi>0，使用DISN近似算法求解制造服务环节所需配置的繁忙资源数E[Bi(t)]和缓存区中应急设备数量E[Qi(t)]的期望值：

(5)

(6)

证明：基于IS和DIS流体近似算法，提出的DISN近似算法用于求解排队网络结构的制造服务所需资源配置和缓存区中应急装备产品的数量。构建Mt/GI/st+GI模型来近似处理·/GI/st+GI排队模型。又将Mt/GI/st+GI模型拆成两个Mt/G/∞串联的排队模型进行近似分析，因此在不同制造服务环节i的资源配置和对应缓存区内的应急装备产品数量具有相同形式。

制造服务环节i的期望繁忙服务资源数量为

缓存区i内的应急装备数量的期望值为

推论1制造服务资源可加性结合定理2可以推出核心制造商在包装运输环节的期望运输设备数量可拆分成两类不同产品分别计算，与直接计算聚合后所需期望繁忙运输设备数量一致，即

E[B4(t)]=E[B41(t)]+E[B42(t)]

(7)

证明：核心制造商完成自营制造核心业务后产品离开的速率函数为σ2(t)，结合定理2计算自营制造完成后需要包装运输环节的期望繁忙设备数量E[B41(t)]；生产承包商完成生产外包非核心业务后产品离开的速率函数为σ3(t)，结合定理2计算生产外包完成后需要包装运输环节的期望繁忙设备数量E[B42(t)]，即

其中，(t-w4)+表示若t-w4小于0则取0，否则取正值。同时可得λ4(t)=σ2(t)+σ3(t)，即产品到达包装运输环节的速率函数等于核心制造商完成自营制造核心业务后产品离开的速率函数加上生产承包商完成非核心业务后产品离开的速率函数。

针对低服务水平QoS下即高放弃比例αi的应急装备制造服务网络的动态资源配置问题，本文提出DISN-OL网络近似算法。由管理人员设置每个制造服务环节顾客的目标放弃比例αi>0，则对应缓存区内应急装备产品的目标等待时间为wi>0。每个制造服务环节i的期望繁忙资源的数量为

(8)

对应缓存区i内的产品数量的期望值为

(9)

其中“∧”表示取小运算。当制造服务资源和对应缓存区内产品的数量在初始时刻t=0都为0时，利用定理2可求解每个制造服务环节的期望繁忙资源配置数量以及对应缓存区内的产品数量，其中，核心制造商在收货理货环节的期望员工数量为

(10)

核心制造商在收货理货环节的员工配置策略为

(11)

核心制造商在收货理货环节缓存区内产品数量的期望值为

(12)

核心制造商在自营制造环节的期望繁忙生产设备数量

(13)

核心制造商在自营制造环节的生产设备配置策略为

(14)

核心制造商在自营制造环节缓存区内产品数量的期望值为

(15)

生产承包商在生产外包非核心业务环节的期望繁忙制造设备数量

(16)

生产承包商在生产外包非核心业务环节的制造设备配置策略为

(17)

生产承包商在生产外包非核心业务环节的缓存区内产品数量的期望值

(18)

核心制造商在包装运输环节期望繁忙运输设备数量

(19)

核心制造商在包装运输环节的运输设备配置策略

(20)

核心制造商在包装运输环节的缓存区内产品数量的期望值

(22)

DISN-OL近似算法对低服务水平QoS的求解非常有效，且具有数学解析式，但对高服务水平QoS下应急装备制造网络的资源配置问题用DISN-OL求解的效果并不理想，因此继续用修正的DISN-MOL近似算法以满足低目标放弃比例。

2.3 高QoS下的DISN-MOL近似算法

考虑应急装备制造网络的动态资源配置问题中带有高服务水平QoS约束即低目标放弃比例αi，笔者进一步开发了DISN-MOL近似算法，该算法结合了单节点DIS-MOL近似算法和网络结构DISN-OL近似算法。分别先由DISN-OL算法推出每个制造服务环节i所需的服务资源E[Bi(t)]，再转化得到各制造服务环节的修正到达率

(23)

(24)

其中，δk表示当缓存区中有k个顾客时的放弃率，πj表示队伍中有j个顾客的稳态概率。对于任意时刻t，遍历搜索制造服务资源的最优配置数量，寻找最小非负整数si使得顾客的期望等待时间E[Wsi(∞)]≤wi。同时缓存区i内应急装备数量的期望值为

(25)

3 算例验证

新型冠状病毒肺炎(以下简称“新冠肺炎”)COVID-19在2020年爆发，引发了全球公共卫生重大事件。为防止疫情扩散，不同国家和地区分别采取居家办公学习、减少公共出行、扩大核酸检测等应对措施。随着生产生活的逐步恢复，Morgen Stanley预测美国将在2021年春季爆发第二波疫情，如图3所示，新冠肺炎患者确诊人数具有时间波动性。在常态化疫情防控措施下，医疗卫生物资等应急装备的需求呈现出相应的时序性特征，符合NHPP的假设。

图3 Morgen Stanley预测COVID-19在美国确诊趋势Fig.3 Diagnosis trend of COVID-19 in the US by Morgen Stanley prediction

在应急装备制造服务网络EE-SOMN中，相应的产品到达当前制造服务环节的过程服从NHPP。应急装备产品到达的速率函数为正弦函数λ1(t)=a+bsin(c(t-φ))，表示在不同的时间范围内产品到达的波动性[16-18]，T为计划时间，φ为相位差。

3.1 低QoS下的EE-SOMN系统

结合图2的排队网络模型，研究低服务水平QoS下EE-SOMN系统。制造服务环节的目标放弃比例α1=0.15,α2=0.12,α3=0.12,α4=0.1，外部产品到达收货理货环节的速率函数参数为a=100,b=20,c=1,φ=π/2，每个环节的制造服务速率μ1=5,μ2=3,μ3=2,μ4=4,，每个环节的客户放弃率θ1=1,θ2=1.5,θ3=1.5,θ4=2，自营制造核心业务的比例为p=0.6，则生产外包非核心业务的比例为1-p=0.4，四个制造服务环节分别为i=1,2,3,4，T=13表示最大计划期为13个月。

假设外部产品到达收货理货环节的速率函数λ1(t)为正弦函数，每个制造服务环节的资源配置数量为si(t)。在图4中，蓝色实线si-alg(t)表示制造服务环节i资源配置数量的DISN-OL近似算法值，红色虚线si-sim(t)表示在仿真中的实际取值。s1(t)表示在收货理货环节的员工配置策略，s2(t)表示自营制造核心业务环节的生产设备配置策略，s3(t)表示生产外包非核心业务环节的制造设备配置策略，s4(t)表示包装运输环节的设备配置策略。

图4 低QoS下资源配置数量Fig.4 Resource allocation under low QoS

图5 低QoS下顾客的期望等待时间Fig.5 Expected delay of customer under low QoS

针对低服务水平QoS下的应急装备制造服务网络，通过DISN-OL近似算法求解各制造服务环节的资源配置策略。图5中对应缓存区内产品实际的等待时间Wi(t)都近似逼近目标等待时间wi，有效验证了DISN-OL算法。在图5的数值结果中存在初始下降现象，因为四个制造服务环节分别在时刻t=w1，t=w1+w2，t=w1+w3，t=w1+w4+min(w2,w3)开始配置资源，故算法仍然具有有效性。

通过DISN-OL近似算法求解各制造服务环节的资源配置策略，图6中对应缓存区i内应急装备产品实际的放弃比例PoAi都趋向稳定于目标放弃比例α1=0.15，α2=0.12，α3=0.12,α4=0.1，有效验证，DISN-OL算法。

图6 低QoS下顾客的放弃比例Fig.6 Abandonment probability under low QoS

3.2 高QoS下的EE-SOMN系统

结合图2的排队网络模型，考虑高服务水平QoS下的EE-SOMN系统。四个制造服务环节的目标放弃比例分别为α1=0.05，α2=0.02，α3=0.02，α4=0.01；其他系统参数均同3.1节。

假设外部产品到达收货理货环节的速率函数同为λ1(t)，每个制造服务环节的资源配置数量为si(t)。图7中红线si-sim(t)和蓝线si-alg(t)完全重合，说明制造服务资源在仿真中的实际取值由DISN-OL算法得到的资源配置近似值严格决定，从而验证了在给定目标放弃比例αi下笔者提出的DISN-MOL算法的有效性。

图7 高QoS下资源配置数量Fig.7 Resource allocation under high QoS

针对高服务水平QoS下的应急装备制造服务网络，通过DISN-MOL改进算法求解各个制造服务环节的动态资源配置策略。图8中缓存区内的产品实际等待时间Wi(t)都实现了不超过目标等待时间wi，有效验证了DISN-MOL改进算法。因假设系统初始状态为空，后3组曲线的开始阶段实际等待时间先上升再稳定逼近目标等待时间，验证了改进算法能有效配置资源。

图8 高QoS下客户的期望等待时间Fig.8 Expected delay of customer under high QoS

通过DISN-MOL改进算法求解动态资源配置策略，图9中每个缓存区内客户实际的放弃比例PoAi(t)分别趋向稳定于目标放弃比例(α1=0.05,α2=0.02,α3=0.02,α4=0.01)，从而有效验证了DISN-MOL改进算法。

图9 高QoS下客户的放弃比例Fig.9 A bandonment probability under high QoS

4 结束语

根据应急装备制造网络的高波动性和高时效性，本文建立了有客户放弃的时变排队网络模型。基于排队理论构造各制造服务环节的最小化资源配置策略，同时控制应急装备的实际放弃比例低于目标放弃比例。针对低服务水平的应急装备制造网络提出DISN-OL算法，以及针对高服务水平的应急装备制造网络提出改进DISN-MOL算法，分别得到相应的制造服务资源配置策略。在数值算例中通过离散事件仿真验证了两种网络近似算法的有效性。