对一道三角形面积问题的探究与拓展

安徽 刘海涛

1 试题呈现与分析

分析:这是一道解三角形问题,解法灵活、综合性较强、难度略大,主要考查三角形内切圆半径与面积的关系,不等式求最值等知识,考查了学生分析问题、解决问题的能力及化归与转化的数学思想,体现了逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.本文尝试对该题从不同的角度予以思考,给出不同的解法,并推广到一般化情况.

2 解法探究

评注:在解法2的基础上,发现三角形面积等于半周长,于是想到海伦公式,得到p=(p-a)(p-b)(p-c),结合三元基本不等式,得到半周长的最小值.

评注:在解法4的基础上,巧妙利用余切函数的凹凸性,借助琴生不等式,求出最小值.

评注:解析几何法相较于前几种解法,虽然过程略显烦琐,但是借助坐标系与向量解决几何问题,是高中数学的一种重要思想方法.

3 问题的提出

数学家波利亚曾说:“解题就像采蘑菇一样,当我们发现一个蘑菇时,它的周围可能有一个蘑菇圈.”解答完本题后,笔者有如下思考:

问题1 若△ABC中∠A是定值,内切圆半径r也是定值,则△ABC面积的最小值是多少？

问题2 若半径为r的圆内切于△ABC,则△ABC的面积最小值是多少？

问题3 若半径为r的圆外接于△ABC,则△ABC的面积最大值是多少？

4 问题的拓展

5 反思总结