从“定点问题”谈解析几何备考思路

广东 薛新建

“定点问题”是高考解析几何中的基本问题类型，能够非常好地考查解析几何的基础知识和基本方法，也为知识面开阔的学生提供了展示高观点知识的舞台，本文通过对题目求解思路的仔细对比研究，形成解决“定点问题”的基本方法结构，为解析几何的备考提供了模板和思路.

一、试题呈现

(Ⅰ)求E的方程；

(Ⅱ)证明：直线CD过定点.

二、解法探究

思路1：由C,D坐标求直线CD方程，借助直线系结论反求定点.

【思路点评】思路1属于解析几何定点问题的常规思路，从问题出发，问什么求什么，对逻辑推理核心素养要求低，该思路几乎所有学生都能理解并付诸运算，但对数学运算核心素养要求高，从详细过程来看，“直线CD的斜率化简”和“直线CD的方程常数项化简”两步中对分式的通分和因式分解构成了该解法数学运算难度的制高点，学生需要在综合的情境中把数学问题转化为运算问题，在既定运算思路下，为达到整理化简的目的去选择恰当的运算方法，需要达到数学运算核心素养水平三才能完成求解，很多学生因这两步计算过于繁杂望而却步.

思路2：直接设直线CD方程，再寻求参数关系反求定点.

解法2：由(Ⅰ)知A(-3,0),B(3,0).设点P(6,m)，C(x1,y1),D(x2,y2)，设直线CD方程为lCD:x=ty+n，由对称性知直线CD所过定点位于x轴上，下证n为定值.

两式相除消去m得2ty1y2+(3n-9)y1-(n+3)y2=0(式2.1)，

即2ty1y2+(3n-9)(y1+y2)-(4n-6)y2=0，

【思路点评】思路2抓住问题中直线CD这一主要几何元素寻找突破，借助对称性将定点锁定在x轴上，利用直线在x轴上的截距式将问题进一步归结为n为定值，在等量关系中构造定值n的恒等式，从而求出定点.这一解法对逻辑推理与数学运算两种核心素养要求都较高，先要通过分析，将问题不断转化与化归，又要通过计算，将转化的问题求解、变形、整理，从中提取出定值关系式.其中“韦达定理代入整理”和“恒等式因式分解”是该思路得以实施的关键，也构成该解法数学运算难度的制高点.

解析几何问题一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合运用直线与圆锥曲线性质及位置关系进行论证求解，解法1和2都体现了解决解析几何问题的基本方法，即从几何分析入手制定问题解决思路，再通过代数运算论证求解，两种方法各有优劣，但共同点都是，运算量大，这也是很多学生在解析几何学习过程中碰到的主要问题，如何使证明求解中的运算简化是解析几何学习中必须积累的经验.

特例法是数学研究中非常重要的思想方法，通过对特殊值、特殊元素、特殊函数、特殊图形、特殊位置等的研究，使问题思考方向明朗，证明求解过程大幅简化.在本题中如果能“猜”到定点，证明难度将大大降低.

思路3：特例法猜出定点，再证明点在线上.

思路4：借助二次曲线系方程，求解定点坐标.

思路5：借助极点极线知识背景，求解定点坐标.

【思路点评】对比前三种解法，曲线系方程和极点极线两种高观点的方法灵活运用运算法则，大幅降低运算量，体现数学思想方法，展示学生知识层面，锻炼学生思维能力，提升学生解题效率，对于学生学好高中解析几何，提升数学学习兴趣并为将来高等数学的进一步学习打下基础，非常值得推广.

三、方法提炼

结合上述思考，对“定点问题”的解决方法做如下总结：

梳理发现，解析几何“定点问题”在初等数学中主要依赖直线系方程知识进行求解，其中特例法对降低运算强度效果明显，也是非常重要的数学思维.曲线系和极点极线属于高观点数学知识，运算强度低，需要学生知识面广.

四、反思教学

通过对2020年全国卷Ⅰ理科第20题“定点问题”的思路探索和提炼，对高三高考备考教学提出如下三点建议：

1.注重基础知识、基本方法的落实和基本思想的提炼

解析几何中“设而不求”的思想方法，在历年高考中都是必考内容，但很多学生联立方程消元的过程总是不过关；“韦达定理”总是会出现符号错误；分式通分，因式分解，十字相乘法等基础运算仍然不准确，教师反复强调易错点不如真正把问题落实到位，或面批指导，或随机抽测，或直接拿课堂时间落实某一项运算，补齐学生运算知识和习惯上的漏洞，这样学生的数学运算素养才能真正得到提升.只有平时多注重数学思想方法的提炼，学生才能将数学思想与数学问题相结合，进而用数学思想指导解题，只有思想方法与数学情境真正结合，才能形成数学活动经验.

2.加强备考中一题多解和多题一解的训练

一题多解的目的是形成知识和方法框架，借助题目搭建起数学知识结构，串联起数学知识网络并梳理清楚数学知识的维度，既是对已学知识的整理与重建，也是对将学知识的预学与奠基，为学生数学学习的进一步发展奠定基础；多题一解的目的是对问题和情境归类，将纷繁复杂的数学问题整合归一，形成问题类和通性通法，将所学知识标签化，提高复习效率.

3.注重高观点知识的适度普及及运用