基于2020年高考全国卷Ⅲ理科第12题的解析与思考

陕西 刘正章

1.试题呈现

(2020·全国卷Ⅲ理·12)已知55<84，134<85.设a=log53，b=log85，c=log138，则

( )

A.a

C.b

【点睛】我们知道实数具有基本性质，即任意两个实数a，b必定满足并且只满足下列三个关系之一：ab.因此基于所学基本知识和方法的比较大小问题高考年年考也就不足为怪了，特别是指数、对数的比较大小问题.本题考查对数式的大小比较，试题设计很有特色：第一，考查的知识点丰富，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化、换底、乘方以及指数函数的单调性等；第二，解法多样，作差、作商、函数单调性、界值法等；第三，人文关怀，为降低难度，给出辅助信息55<84，134<85；第四，体现数学文化，由斐波那契数列数3,5,8,13构成对数式，让人叹服.

2.试题解析

由对数函数性质易得a，b，c∈(0,1).

首先考虑a，b的大小关系.由于两个对数式的底数和真数均不同，所以利用比较大小的基本策略“作差(或作商)”将二者结合起来研究，有：

途径二：由b=log85，c=log138，得8b=5,13c=8，

又因为55<84，134<85，所以134c=84>55=85b>134b，所以b

途径三：由已知得5b=log855log13134=4，所以b

3.题型反思

虽然在教材中没有单独安排“比较大小”的课节，但高中阶段指数和对数的比较大小问题却比比皆是.此类题型往往小而巧，类型不同解决方法也存在差异，但主要还是考查学生灵活运用基本知识的能力.下面仅从高考复习备考的视角来看比较大小的几种常见类型：

3.1比较指数式的大小

【例1】(2014·湖北试题改编)比较e3，3e，eπ，πe，π3，3π的大小.

【解析】因为e<3<π，且函数y=xe，y=xπ，y=ex，y=πx在(0,+∞)上单调递增，所以3e<πe<π3，e3

综上可得，3e

3.2比较对数式的大小

【例2】若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是

( )

A.b

C.c

【评注】比较两个对数大小时，尽量化为同底或同真数，当底数相同，真数不同时，构造同底对数函数，然后比较大小；当真数相同，底数不同时，可以先用换底公式化为同底后再比较，或构造两个对数函数利用图象比较大小；当底数与真数都不同时，常借助中间量(如0,1)进行比较.本题首先利用中间量1比较，再利用换底公式转为同底的对数比较a,c，当然也可利用“扩倍法”：2a=log29>log28=3，2c=log436

3.3比较不同类型数的大小

( )

A.a

C.c

3.4比较含字母代数式的大小

【例4】若a>b>0，则下列不等式中一定正确的是

( )

4.教学启示

4.1注重通性通法 巩固基本能力

现在辅导资料遍地开花，精彩的试题也很多，但不要被资料所左右，我们要时刻保持清醒.“题”是做不完的，要以问题所涉及的知识和通性通法为目标，夯实学生以不变应万变的能力.高考比较大小试题考查的主干知识是指数、对数的变形和运算，以及指数函数和对数函数性质的运用.常用的求解方法有作差比较法、作商比较法、中间量法、单调性法、图象法、特殊值法、放缩法，侧重于变形技巧的方法有平方法、倒数法、分子(分母)有理化法、移动因式(指数)法等.这些知识和方法的掌握是重点，重点内容要特别关注，在通性通法的运用上要舍得花时间，不妨让学生用自己的语言说出思路及相关公式、性质，写出规范求解过程，使学生形成看到问题就能想到解决方法，且具备灵活运用相关知识解决问题的能力.

4.2重视“函数”作用形成方法体系

比较大小问题中，从运算角度看，指数、对数和常数经常用到指数运算性质、对数恒等式、换底公式、对数性质化为同底(同指数或真数)；分式用到分式的基本性质化为相同分子(分母)；根式用到穿墙术、根指互化、有理化、乘方开方等，其核心思想是化异为同，然后利用函数的单调性处理.英国数学家怀特海，A.N.说：“数学就是对于模式的研究.”从系统的高度分析，比较大小可以看作是函数模型的产物.因此在理解比较大小本质的基础上心中要有函数观，不仅对反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的性质要了然于胸，而且要提升利用数式的结构构造函数，结合导数解决问题的能力.

4.3重视过程感悟 发展核心素养