立体几何中与球有关的问题探究

湖北 王 晶

几何体的外接球和内切球问题是学生在立体几何学习中的难点,也是高考和联考的命题热点,重在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力;此类问题的实质是解决球的半径或确定球心的位置问题,其中球心位置的确定是关键.笔者在多年教学中把有关球的问题大致分为下面几个类型.

类型一:与球有关的截面问题

【例1】棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为

( )

【答案】D

【点评】本题考查球与正方体相“接”的问题,利用球的截面性质,转化成为求球的截面圆直径.

【联考真题1】(2019·武汉市部分重点中学联考)已知平面α截一球面得圆M,过圆M的圆心的平面β与平面α所成二面角的大小为60°,平面β截该球面得圆N,若该球的表面积为64π,圆M的面积为4π,则圆N的半径为________.

【点评】本题考查球的截面圆与二面角的交汇问题,利用球的截面性质,巧妙地找出二面角的平面角,最后利用垂径定理求出圆N的半径,属于中档题.

【联考真题2】如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为

( )

【答案】C

【解析】平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆.

【课本真题】(必修2第37页习题B第2题)一个长、宽、高分别是80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水200 000 cm3,现放入一个直径为50 cm的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中流出？

【答案】水不会从水槽中流出.

【分析】根据长方体的体积公式求出水槽的体积,再根据球的体积公式求出木球的体积,结合题意,根据水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和与水槽的体积比较,即可确定答案.

所以V

【点评】本题考查了长方体和球的体积公式,解题关键是抓住水槽中水的体积与木球在水中部分的体积之和与水槽的容积之间的关系,属于中档题.

类型二:求几何体外接球,内切球的半径、表面积、体积

【方法点拨】1.一个几何体的所有顶点在球上,此球即为外接球.确定其半径的方法主要有如下四种:

A:根据球的定义及已知结论确定简单多面体的外接球的球心,确定简单多面体外接球的球心的结论如下:

结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.

结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.

结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.

结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.

结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

B:将几何体补为长方体或正方体,化为这两种特殊几何体的外接球问题.常用的补形途径与方法如下:

途径1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.

途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.

途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.

途径4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.

C:由球的性质确定球心.利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.

D:利用外接球的球心的特点(考虑建立空间直角坐标系,球心到几何体所有顶点的距离相等,先确定球心的轨迹,再列等量关系,解得半径).

2.球在几何体内部,与其所有侧面均相切,此球即为内切球,这种球的半径多用等体积法来确定;特别需要注意内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等;正多面体的内切球和外接球的球心重合;正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合;构造三角形利用相似比和勾股定理是基本方法;体积分割是求内切球半径的通用做法.

【例2】直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于________.

【解析】欲求球的表面积,归根结底求球半径R,与R相关的是重要性质R2=r2+d2.

现将问题转化到求⊙O2的半径,

因为△ABC是⊙O2的内接三角形,又知AB=AC=2,∠BAC=120°,三角形可解.

所以R2=r2+d2=4+1=5.所以S=4πR2=20π.

【联考真题1】(2019·武汉市部分中学高二期中考)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为

( )

【答案】A

【解析】根据题意作出图形,如图所示,设球心为O,过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,延长CO1交球面于点D,则SD⊥平面ABC.

( )

【答案】B

所以S=4πR2=6π,故选B.

【高考真题】(2019·全国卷Ⅰ理·12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为

( )

【答案】D

类型三:与球的组合体有关的最值问题

【方法点拨】解决此类问题的关键：1.根据题目条件,画出正确的截面,把空间“切”或者“接”问题转化为“平面”问题处理;2.此类问题大部分是立体几何与函数相结合的习题,根据题意得到函数解析式,转化为求函数的最值.

【例3】在棱长为1的正方体内有半径分别为R和r的两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)则R+r=________;(2)R=________,r=________时,两球体积之和最小.

【分析】此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面,得如图的截面图,在图中,观察R与r和棱长间的关系即可.

【解析】(1)如图,球心O1和O2在AC上,过O1,O2分别作AD,BC的垂线交于点E,F.

(2)设两球体积之和为V,

【点评】本题充分利用轴截面,将问题转化成平面几何问题,应用三角形中的边角关系,建立与球半径r,R的联系,将球的体积之和用r或R表示,应用二次函数的图象和性质确定其最小值.本题综合性较强,是函数与立体几何相结合的典例.

【联考真题】(2018·吉林长春高三质检)已知三棱锥S-ABC,满足SA,SB,SC两两垂直,且SA=SB=SC=2,Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点,则点Q到平面ABC的距离的最大值为________.

( )

【答案】B

【分析】作图,D为MO与球的交点,点M为三角形ABC的重心,判断出当DM⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC体积最大,然后进行计算可得.

因为点M为三角形ABC的重心,

所以DM=OD+OM=4+2=6,