数形结合：数与形的双向“沟通”

文无 言

（作者单位：江苏省无锡市西漳中学）

数形结合，反映了图形与数量之间的关系。既是重要的知识内容，又是重要的数学思想。

两条直线的位置关系与角的大小之间有着内在联系。由角的数量关系判定直线的位置关系，由直线的位置关系决定角的数量关系。

例如，两条直线相交就一定会产生角——两组对顶角，因为两组对顶角分别相等、两组对顶角之间互补，所以只要其中一个角确定，那么其他3 个角就全部确定。因此，只要聚焦其中一个角即可。当这个角的大小是一个特殊值——90°的时候，这两条直线就垂直。于是，交角的90°判定了两条直线垂直，两条直线垂直就决定了交角的值为90°。这就是垂直概念的两层含义。

很自然地，我们会想：既然相交的位置关系是这样研究的，那么平行的位置关系是否也有类似的研究呢？

麻烦的是，对于什么是平行，课本上只给出了一个模糊的说法：“在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。”什么是不相交呢？不相交就不产生交角。这只是一种直观的认识，在具体问题中无法像垂直一样进行清晰精确的操作。

但是，平行线的作图过程告诉我们，三角尺的平移保证了两条边的平行，如图1。

图1.平行线的作图

对这个过程进行抽象，就会出现两条直线被第三条直线所截的基本图形——三线八角，如图2。在这个图形中，两个交点处共出现四组对顶角。根据前文内容，我们只需要在两个交点处分别聚焦一个角即可。

图2.三线八角

平行线的画图，让我们自然关注这些角：∠1 与∠5、∠4 与∠8、∠7 与∠3、∠2与∠6，这四组角相对于截线和被截线而言位置都相同，因此叫同位角。画图也告诉我们一个基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。这就建立了第一个判定条件——由同位角的数量关系判定直线的位置关系。

进而，诸如∠3 与∠5、∠4 与∠6 都是位于被截线内部、交错分布在截线两侧，因此名为“内错角”。内错角的数量关系可以化归为同位角的数量关系。同理，命名“同旁内角”，其数量关系同样化归为同位角的数量关系。所以，“三类角”的数量关系就判定了直线的位置关系。

在苏科版数学教材七年级下册第16 页读一读《怎样证实“两直线平行，同位角相等”》中，编者依据基本事实“同位角相等，两直线平行”“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，利用反证法，证实了“两直线平行，同位角相等”。这就构建了由直线的位置关系决定一类角的数量关系的方法。在此基础上，将另外两类角的数量关系化归为同位角的数量关系。于是，直线的位置关系就决定了“三类角”的数量关系。

可见，将直线的位置关系与“三类角”的数量关系建立联系，既是知识发展的必然逻辑，也是一种形象直观的方法。这种数形结合的思想不仅体现在知识的形成过程中，其重要性更体现在具体的解题过程中。