中点在解析几何问题中的三种用法

甘肃省天水市第八中学 (740120) 王存斗

中点问题是解析几何中最常见的题型之一，而如何用中点？如何求中点？学生可能没有成熟的经验和具体的措施，为此，本文从优化解题的角度来探讨中点在解析几何中的三种用法，供读者参考.

一、抓住中点的几何特征

中点的几何性质非常明显，也常隐藏在圆心、对称、平行四边形等条件中，如果能在解题中充分发挥它的几何作用，可使解题过程进一步优化.

图1

评注：由于D点是两直线的交点，很多同学都会想到“交轨法”求其轨迹方程，但本题若用此法，运算就会过于繁杂.而本解法是在理解题目内涵的基础上，巧用F1F2的中点是O的几何性质，就使整个解题变得轻松流畅.

二、用中点巧求斜率

在许多问题中需要表示出直线方程，先找到斜率是非常重要的，如果所在的直线上含有已知的中点，那么就可以通过分别设点代入曲线方程，再二式相减就能够得到此直线的斜率了.

评注：求直线的斜率的方法有很多，但若方法的选择不当将会导致繁琐的运算，令人望而却步.此解法通过巧妙设出中点坐标，利用圆及等腰三角形的性质，使问题获得简解.

评注：此解法通过挖掘得到圆心就是线段AB的中点并加以充分运用，直线AB的方程就求出来了，这就是“点差法”的典型用法.

三、用参数表示中点

通过将直线方程与曲线方程联立，消去一个未知数，使之转化为一个一元二次方程，再由根与系数的关系得到中点坐标，这是中点最常用的方法.

评注：表示中点坐标是问题解决的关键.联立方程，再由根与系数的关系求出中点是圆锥曲线问题中的常见解题步骤.

评注：此解题过程中用到了解析几何中许多解题技巧，如怎么表示中点、如何解决面积的表达式、如何求最值等，我们只有通过不同题型的长期训练，才能有效的掌握这些.

上面是对解决解析几何问题中如何使用中点的一个归纳，以例说事，经典实用.我们在平时的教与学中，要引导学生不断总结归纳，注意有条理的扩大知识储备，这样才能提升教学效果，使学生获得更多的收获.