基于式子结构分析 提升数学运算能力

江苏省灌南高级中学 (222500) 刘鑫钧 宋予林

1 问题提出

为了考察学生对多元变量问题的运算能力，笔者设计了上述问题，目的在于通过此题了解学生当前的运算水平，诊断在运算中可能出现的障碍，了解学生目前数学运算素养发展现状，探寻相应的解决策略，为进一步提高学生数学运算能力，促进学生数学思维发展，培养学生规范化思考问题的数学素养的课堂教学提供参考.

这道题是本校2020高三月考第12题，满分5分，班级平均得分1.2分,得分率偏低.为了具体了解学生在考试时是如何处理该问题的，在试卷评讲中笔者和学生专门就该问题进行回顾与交流.

2 问题解决

2.1 观察代数结构，培养算前、算中、算后的观察能力

本题是一道代数题，解决的关键在于学生是否能从不同的角度观察式子，感悟到式子的结构，从而选择相应的解法.在课堂教学中，笔者首先让做出来的学生展示其运算方法.

图1

算完后，有同学受解法1的启发，发现可以对解法1进一步改进.

评析：解法2是在解法1展示后，学生基于将圆方程a2+b2=c2变为单位圆的想法，由此对条件同除c2，结论同除c，实现解法简化,别开生面.接下来，老师询问是否还有其它解法，应者却寥寥无几.

《普通高中数学课程标准》(2017版)关于运算素养的水平划分为三个层次：(1)能够在熟悉的情境中了解运算对象，提出运算问题，并用运算结果说明问题；(2)能够在关联的情境中了解运算对象，提出运算问题，并能够借助运算探讨问题；(3)能够在综合情境中把问题转化为运算问题，明确运算方向，构建运算程序，能够用程序思想理解和解释问题.以上三个水平层次分别对应于对运算素养的三个要求：熟悉运算，转化运算，创新运算.由此可以看出解法1与解法2反映学生的运算水平还处在第一阶段，只会在熟悉(圆方程结构)情境中解决问题，停留在熟悉运算(代数)水平，根源在于学生缺少对于式子结构的转化能力.

2.2 转化代数结构，培养学生运算中的转化能力

如何培养学生的转化能力呢？所谓横看成岭侧成峰，就是告诉我们要善于转化视角观察问题，那么如何转化a2+b2=c2,c≠0这个式子的结构呢？从左往右看，式子呈现“和”的结构，而和、差结构是经常能够转化的.

图2

如何进一步提高学生的运算水平，再上一个台阶呢？教师的引导就显得尤为重要，可以让学生总结前面的解法1、解法2与解法3是从哪方面去认识a2+b2=c2结构，最终使其认识到无论是平方和结构还是平方差结构都是从代数的结构去分析，那么除了从代数角度去观察，我们还可以从哪里去分析呢？进而让学生领悟到可以从几何的结构去分析.从而产生下面解法.

2.3 构造几何结构，培养学生运算中的创新能力

图3

3.结束语

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在平常的教学过程中，特别是解题教学中，不能让学生仅仅停留在获得运算结果的层面上，要善于引导学生从式子结构角度开展运算教学，培养学生观察式子，转化式子，构造式子的能力，提高学生在运算观察、运算综合、运算创新等方面的水平，提升学生的数学运算能力，从而使数学运算素养在课堂教学中实现真正落地.