教材习题同样能光彩绽放

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

作为教材习题，是一轮复习中最为重要的知识联系纽带，可以对基础知识进行挖掘，对知识点形成系统化，构建一个知识网络，深入理解教材习题的真正意图.本文从教材中两个习题的多解性出发，帮助学生实现数学解题的发散思维和学习能力的提升.

例1(选修2-1第73页A组第5题)如图1，M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，求|FM|.

角度1角的思考

从题中可知，求解的关键是点M的坐标，而所给的角可看成直线FM的倾斜角，故可利用斜率公式或直线方程进行坐标运算.

角度2长度的思考

本题是求解|FM|的长度，关键是建立抛物线上的点M的坐标与|FM|长度的相关联系即可求解.

角度3定义的思考

本题涉及的问题与抛物线的焦点有关，一般常考虑使用定义解题，使解答事半功倍.

过点M作准线l的垂线，垂足为点N，连接NF.根据抛物线的定义可知，△MNF为等腰三角形.又∠OFM的角平分线为FN，而∠MFx=60°，故△MNF为等边三角形.又|FF′|=2，∠NFO=60°，则NF=4，故|FM|=4.

上述三个角度是解决解析几何问题中最常用的方法，只有真正弄清楚题目的要求才能将问题迎刃而解，最终将知识有机地结合.

例2(必修2第90页B组第6题)经过点P(0,-1)作直线l，若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点，求直线l斜率k的取值范围？

虽然提倡回归教材，但很少有人能真正做到，笔者认为，能以教材的例题、习题及复习参考题为解题对象，无疑是对回归教材的一种良好体现，尤其是一轮复习过程中能重新认识教材的各类题目也必会有一番新作为.通过一题多解可将知识进行整合，从而拓宽学生整体性解题视野.

角度1形的思考

解析几何是形的所在，理所当然会想到运用数形结合的方法解决问题.

根据题意，当直线l绕点P旋转，从PA到PB均与线段AB有公共点，结合两点间的斜率公式，可求得直线PA、PB的斜率，所求直线l的斜率k的取值范围为kPA≤k≤kPB，即-1≤k≤1．

评注在运用几何处理过程中，答案的书写也需谨慎，斜率的取值范围切不可写错.

数形结合是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题的目的.

角度2数的思考

解析几何是将“形”用“数”进行解决问题，将数学问题运用数学语言转化求解.将直线转化为二元一次方程来体现，用代数的思想进行求解.

在直角坐标系中建立直线方程，把直线问题转化为代数问题，通过代数处理，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题.

角度3线性规划的思考

观察直线l将AB分成两段，让你想到了什么？除两端点以外，其余位置恰将A,B两点分在直线l的两侧，联想到线性规划知识A,B两侧符号相反.

直线l方程为kx-y-1=0，根据线性规划知识可知，A(1,-2),B(2,1)两点在直线的异侧，符号相反，同时也可在两端点处，如图5.

故(k+2-1)(2k-1-1)≤0，解得-1≤k≤1.

角度4向量的思考

又根据题意λ∈[0,1]，可得-1≤k≤1.

通过直角坐标系将上述四种方法紧紧围绕在一起，形成一种知识体系，达成共识，让学生从中学会了贯通，将知识进行重新整合，更有系统性，为提升学生学习能力而提供便捷，使教材习题真正实现其价值.

“一题多解”是数学课堂解题教学中的一种最为常见形式，也是培养学生的数学思维能力的一条有效途径. “一题多解”指的是通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个数学问题的教学方法.数学课堂教学中的多元化发散思维训练，可以通过“一题多解”得以实现.对于一个数学问题而言，若能根据已知条件与所求结论之间的关系，进行发散性思维，善于横纵联系，多视角的深入分析，就可实现一题多解.平时把教材习题能利用好同样能光彩绽放.