巧解全国Ⅰ卷第21题的四种方法

欧永华

(福建省仙游第一中学 351200)

2019年全国课标Ⅰ卷理科综合第21题：

在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图1中实线所示.在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图1中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体.已知星球M的半径是星球N的3倍，则( ).

A．M与N的密度相等

B．Q的质量是P的3倍

C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍

D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍

解析考题通过a-x图像描述P、Q两物体分别在M、N星球上压缩弹簧的物理过程中物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系.

由牛顿第二定律得

mg-kx=ma

图像“纵坐标轴的截距”的意义：表示重力加速度有

星球MgM=3a0

(1)

星球NgN=a0

(2)

(3)

(4)

(5)

关于密度的求解略.

现将本题C、D选项关于最大动能和最大压缩量的四种求解方法转录如下

一、弹性势能定义法

1.当物体加速度为零时，速度最大动能最大，有

mg=kx

(6)

(7)

由机械能守恒定律得

(8)

(9)

2.当物体速度为零时，设弹簧最大压缩量为xm，

二、a-x图像拓展法

2.图像的图线延伸的物理意义：通过a-x图像中加速度对位移的累积量的意义拓展，将图线延伸到横坐标下方.当压缩量最大时是物体速度重新为零的位置，由于a-x图像是线性关系，根据对称性可得弹簧的最大压缩量是横坐标截距的的两倍如图2所示.

三、F-x图像转换法

1.将a-x图像进行重构，转换为F-x图像进行处理.根据牛顿第二定律F=ma知对确定质量的物体有F∝a，所以F-x图像也是线性关系.其中已求得mP：mQ=1∶6，所以P物体的F-x图像纵轴截距是FP=mP×3a0=3ma0，Q物体的F-x图像纵轴截距是FQ=mQ×a0=6ma0.可得P、Q物体的F-x图像如图3所示.

由于F-x图像中所包围的“面积”是表示力对位移的累积效果即总功W，所以动能最大时就是对应图像在x轴上方所包围的“面积”时.

四、简谐运动法

(2)又由简谐运动的对称性可得，最大压缩量是振幅的两倍，xm=2A