“由因探果,由果索因”——“定义与命题”的教学与思考

◎ 陈晓慧

在一次跨地区“说课”交流活动中，笔者展示了说课“定义与命题”(浙教版八年级上第一章第2 节)，现将本节课的教学与思考予以呈现。

一、备课思考

1.说教材

本章内容为《三角形的初步认识》，含有初中几何入门阶段所必需的基础知识和基本技能，为后续继续学习四边形，圆，相似三角形等内容打下良好基础。而本节课“定义与命题”，以及“证明”这些内容的编入，意味着从本章开始，学生的初中几何学习将从实验几何阶段过渡到论证几何阶段，这也意味着我们将对学生提高要求。

2.说学情

八年级的学生已经积累了一些数学活动经验，且具有一定的观察，归纳，概括，抽象等能力，但他们还不完全具备严密的逻辑推理和严谨的逻辑表达能力，因此老师在教学中既要严格要求，但也不能操之过急。

3.说教学目标与重难点

基于以上分析，笔者制定了如下教学目标与教学重难点。

(1)通过数学活动，让学生经历“定义与命题”概念的产生，并了解“定义与命题”的含义。

(2)通过教师引导，师生探讨，小组合作，学生互评等方式，让学生了解命题的结构，能区分命题的条件与结论，并且会改写成“如果...那么...”的形式。

二、教学过程及分析

基于以上对教材，学情，教学目标与重难点的分析，制定了如下教学过程设计。

1.识“定义”

开门见山地问学生:你能写出一个水仙花数吗?

此时会出现两种情况:如果有学生知道水仙花数，就请这位学生介绍水仙花数的定义;如果没有学生知道，就由老师来介绍。我们把像这样，各个数位上的数字的立方和等于这个数字本身的3位数，叫作水仙花数。

提出这个问题的目的是为了引发学生的认知冲突，激起学生的学习兴趣。我们从数学活动中让学生经历“定义”概念的产生，并且体会到“定义”的必要性。

回归教材配套练习，但做适当改编。

练习1:将下列定义补充完整.

(1)无限不循环小数叫作无理数.

(2)有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.

(3)从所有考察对象中抽取一部分作调查分析，这种调查方法叫作抽样调查.

4.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.

本题改编自书本“做一做”，原题是“请说出下列数学名词的定义”，但笔者将它改为“请将下列定义补充完整”，改为填空题。这样改的意图是，让学生完整并且清晰正确的表述某个数学名词的定义是很困难的，改为填空形式，不仅能帮助学生回忆起这些数学定义的本质，也不至于将本节课的教学重点转移，否则学生会误以为本节课的重点是要严格清晰正确的去说每一个数学名词的定义。

2.知“命题”

追问:124 是水仙花数吗? 此时学生会根据已获得的水仙花数的定义，做出判断。原来定义不仅有对事物做出“清楚规定”的功能，它能作为依据，具有判断的功能。

(1)说一说:

生活中有许多语句，都具有判断的功能，你能说一说，说出一些具有判断功能的语句吗? 此时，学生会根据自身的经验，说出一些具有判断功能的语句，比如“……是……”，“……不是……”，“如果，那么”等形式，这时候老师可引导学生去感受，这些具有判断功能的语句都有怎样的语气。

(2)选一选:

练习2:比较下列句子在表述形式上，哪些对事情做出判断?哪些没有对事情做出判断?

①两直线平行，同位角相等②画一个角等于已知角③对顶角相等④a，b两条直线平行吗?

⑤鸟是动物⑥若2a=4，求a的值⑦若a2=b2，则a=b⑧2008年奥运会在北京举行.

给出书本中的这八个句子，让学生根据刚才的经验，去选一选，哪些语句对一件事情做出判断，哪些语句没有。此时，学生会根据已有经验，去寻找其中的陈述句，因为像疑问句和祈使句，它们并没有对一件事情做出判断。而像①③⑤⑦⑧这几个陈述句，都对一件事情做出了判断。这里可能会产生一个困难点，学生会误以为一定要作出正确的判断才叫命题，此处可以引导学生，根据定义去辨析，只要作出判断，不管判断的结果是对还是错，都是命题。这样也为下一节课学习真假命题埋下伏笔。

3.析“命题结构”

在这八个语句中，我们可以根据定义知道哪些是命题。笔者会请同学们特别去关注①③⑦这几个数学命题。读一读，感受这些命题的内部结构，是否存在某些因果联系。

以命题①为例:两直线平行，同位角相等。你能感受其中的因果关系吗? 何为因，何为果。学生会说，两直线平行是原因(也就是已知条件)，同位角相等是结果(也就是结论)。如果条件发生了，那么结论就可以成立。那么，我们就可以把这个命题改写成“如果+那么”的形式，清晰的找到命题条件与结论，体现它们之间的因果联系。

学生可能想，这个命题条件和结论很好找到，为什么非要改写成如果那么呢? 这时候笔者会马上给出命题③:对顶角相等。这个命题语言非常简洁，乍一看好像只有结论，找不到条件，难以区分，正是本节课的教学难点。可以这样引导学生:我们不妨从命题的概念出发，命题是对一件事情做出判断的句子，读一读，这句命题做出了怎样的判断，能找到关键词吗? 学生会说:相等。追问:谁相等。学生会说:两个角相等。这样，我们就从问题串中理清了思路，由果索因，找到了这个命题的条件与结论。结论是:两个角相等。条件是:两个角是对顶角。再用如果，那么去改写，让语句表达通顺，清晰表达其中的因果关系。

为了检验学生是否掌握，笔者会再配两个类似命题(1)同角的余角相等(2)三角形的三个内角和等于180°。将采用小组合作，生生交流的形式，并且小组之间相互评价，看谁改写的更合理，这也体现了教学评的一致性。

对于两个命题的改写，学生会出现多种情况，比如:如果一个图形是三角形，那么这个三角形的三个内角和等于180°。或者“如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个角的和等于180°”等等。我们可以继续采用由果索因的方式，看看这个命题做出的判断是什么? 是180°? 和等于180°? 还是三角形内角和等于180°? 其实找判断关键词，应该是和等于180°更合理，然后再追问谁的和是180°，是3 个角的和为180°，那这3 个角有什么条件呢?是三角形的三个内角。其实本质就是搞清楚，我们要判断的对象是谁? 是三角形? 还是三角形的三个内角? 我想应该是后者更合理，更凸显三角形的本质。

三、教学思考

根据命题的定义，只要做出判断就是命题。所以并不是所有的命题都具有条件和结论这样的结构，像命题⑤和⑧，他们都是简单命题，或者说直言命题，它没有明显的因果联系，不具备条件与结论的结构。因此在教学中，避免引起学生钻牛角尖，可以避开这几个命题，而是让学生特别关注我们的数学命题，因为数学命题通常都具有“条件+结论”这样的结构，而且这类复合命题也正是我们数学学习中的重要命题。若有学生问起怎么改写，再向他们介绍简单命题和复合命题，并鼓励学生课下查阅资料去继续深入学习和探讨。