浅析转化思想在高中数学解题中的应用

◎ 蒋 刚

高中阶段的数学习题，重点考查了学生思维的灵活性与逻辑性。许多高中生的解题思维比较简单，面对例题时，常常会觉得这些题的思路比较明确，而在遇到类似的习题时，则又出现无从下手的情况。针对学生的解题问题，转化思想得到了深入应用，它可以将复杂的问题简洁化，帮助学生迅速联想到熟悉的知识点，以减轻解题难度，提高学生做题的准确率。

一、化繁为简

许多数学问题看上去十分复杂，找不到解题的突破口，但只要适当地将题目进行转化。击碎外表那层神秘的“面具”，学生就能一目了然的看清其中的本质。应用转化思想，可以将题目化繁为简，帮助学生捕捉到解题的切入点，从迷雾重重过渡到柳暗花明。

例如:已知有x，y两个未知数，满足函数=0，试问的取值范围为多少? 对于这个问题，学生们往往会感到十分费解，从表面上分析，想要求出的取值范围，就要分别求出x和y的取值范围。而在这个函数中，x的最大值和最小值是否能正好对应y的最大值和最小值，似乎还需要通过图像来进一步判定。由此，这道题的解析思路就变得十分复杂。如果通过转化思想，应用换元法来重新变换这道题目，就能起到化繁为简的目的。

比如，假设k=则y=k(x-2)+2，代入到原式之中，就等于，将原式重新整理，就能联立出x与k之间的函数关系式(1-k2)x2—2(2k2-k+1)x-(4k2-4k-1)=0，随后，令△≥0，就能进一步得出关于k的不等式，从而求出最后的取值范围。由此可见，巧妙应用转化思想，可以将看似复杂的题目转变成单纯的二次函数运算，帮助学生快速找到解题的路径。

二、数形结合

对于高中时期的习题而言，大部分题目都需要采用数形结合的方法来进行解析。而运用数形结合，同样可以将复杂的“数”类问题转化成直观的图形，以起到简化解题思路，提高解题效率的目的。

例如:已知有两个实数x，y，满足某函数(x-2)2+y2=1，试求的最大值为多少? 学生在面对这道题时，很容易产生困惑，因为这道函数题与二次函数最值问题的思路截然不同。似乎无法通过对称轴的方式来判定最大值所处的地方。此时，学生就要转换思路，思考这个函数满足什么类型的图像，能否从对应的图像上找到解题的切入点。

从函数的特点上进行分析，该函数明显属于圆心为(2，0)，半径为1 的圆形图像。因此，可以在坐标系中绘制出图像(如图一)。通过图像，不难发现可以表示为换言之，也就是过圆上一点(设为A)与原点相连的直线OA的斜率，并求该斜率的最大值。从图形上可见，当直线OA与圆相切时，斜率值最大。此时OA⊥AG，通过计算，不难求出斜率的最大值为

三、正逆转化

观察部分高中数学题，题干的答案往往有非正即反的特点。学生在解题过程中，发现如果按照正面的思路，需要进行大量的分类讨论，解题过程十分复杂。而应用逆向思维，可以另辟蹊径，从未知的角度入手，反向推导出隐藏的已知条件。因此，学生们在解题中遇到困境时，不妨从反面的角度入手，应用转化思想，锻炼逆向思维，从而有效突破难题。

例如:从某个四面体中，提取所有的顶点，以及每一条棱的中点，共能找出10 个点，如果从10 个点中选取4 个不共面的点，那么一共有多少种取法? 学生在解答这道题目时，若采用正面思维，分类讨论的情况将十分复杂，不易进行分析。而将题目的特点进行细致剖析，则可以得出以下结论:除了4 个点不共面以外，其他的情况一定是4 个点共面。因此，学生只要从反面进行思考，找出所有4 个点共面的情况，再从所有的取法中减掉，就能求出该题的最后答案。

通过分析，4 点为同一面的情况可以分为三种情况。第一种:这四个点恰好为四面体的同一个面，而四面体的任意一面都为三角形，根据题意，包括三个顶点和三条边的中点，一共6 个点。那么代入公式计算，共有个4 点同面的情况。第二种:先保证三点为一边，也就是四面体的同一条棱上，剩下的最后一点选择对面棱的中点。这四点满足共面的要求，因为四面体有6 条棱，所以有该情况有6 种可能。此时学生需要注意，不能选择与该棱相近棱上的任意一点，不然会与第一种情况出现重复。第三种，找出四面体中各个三角形面的中位线，也就是相邻两条棱中点的连线。将这些中线进行组合，正好可以构成三个平行四边形。综合以上分析，上述几种情况都不满足题意要求，应当从总数中进行删减，经计算，不难求出最后的答案为141。

四、主次变换

在解答数学题的过程中，通常会遇到主要变量和次要变量。一般来说，主要变量是题干要求解答的目标，而次要变量属于题目中的关键信息。在实际解题中，如果学生直接针对主要变量，计算的过程往往比较复杂。而采用主次变换的方式，调换两种变量的位置，原本繁杂的题目就能变得清晰明了。

如:已知4x+1≥m(x2-1)对于m∈[-3，3]恒成立，试求x的取值范围为多少? 通过这个题目可以判断，主要变量为x，也就是本题所要求解的最终目标。而m为次要变量，也就是题干中给出的关键信息。想要求得x的范围，按照传统的解题思路，通常会将m代入进去，以进行求解。而这种解题方式需要花费大量的精力来完成运算，且很难保证绝对的准确度。因此，需要换一种思路，通过转换思维，来转换两种变量的定位。

解题过程如下:首先，建立关于m的函数f(m)，则f(m)=m(x2-1)-4x-1。此时f(m)≤0 恒成立，且m∈[-3，3]。由此可见，当两种变量的主次发生了转变，这道题目就巧妙的转化成了一次函数的图像问题。在此基础上，再进行细致的分析，根据一次函数的公式y=kx+b来进行分类讨论，探究该一次函数图像在[-2，2]之间的单调性问题。通过以上解题过程，学生们不难梳理解题思路，求出最后的答案。

总之，在高中数学解题过程中运用转化思想，可以帮助学生突破固有的解题思路。教师要在解题教学中积极渗透转化思想，让学生能规避掉数学题中的“礁石”，成功化繁为简，从而准确求解出答案。