哥德巴赫猜想的完美证明

何海浪 何雷

【摘要】通过分组重排、抽取淘汰算出等于两个质数之和的式子个数在等于两个奇数之和的式子总数中所占的比大于0证明哥德巴赫猜想一，根据哥德巴赫猜想一证明哥德巴赫猜想二.

【关键词】合数;质数;含合数的式子;两个质数之和的式子

1742年，德国哥德巴赫提出哥德巴赫猜想，200多年来，人们努力地想证明它，却始终未能完全证明它，1966年我国的陈景润证明了“1+2 ”即一个大偶数等于一个质数加上两个质数的积.

一、任何一个偶数等于两个质数之和

（一）10以内的偶数等于两个质数之和

对于10以内的偶数，我们可以逐个验证：4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5.

（二）大于10的偶数等于两个质数之和

因为质数只等于1乘它本身，合数含除1和它本身外的因数，大于2的偶数都是合数，大于2的质数都是奇数，所以我们所说的奇数、合数、质数是指大于1的奇数、奇合数、奇质数，可以用（2k+1）（k≥1）表示：3、5、7……（2k+1）.一定范围内的数，必然存在着质数，合数就是由这些质数中的一些作为质因数相乘得到的，但我们当作合数由它的最小质因数形成.若单独看以某质数为质因数形成的合数，它们的个数是一定的且占所有数总个数的比非常接近且小于该质数的倒数或约为该质数的倒数.若用两种方法将所有数分组重排：假设Ny、Nz为质数，分别以3、5、7……（2Ny+1）为首项、2Ny为公差的等差数列将所有数排成Ny组;分别以3、5、7……（2Nz+1）为首项、2Nz为公差的等差数列将所有数排成Nz组，则从Ny组中抽取一组数，将该组数分到Nz组的每一组中且每组分到的数占的比是相同的;从Nz组中抽取一组数，将该组数分到Ny组的每一组中且每组分到的数占的比是相同的.

数的个数最多的一组比最少的一组多1个，其中有一组为Nr、3Nr、5Nr……该组除首项Nr外均为含质因数Nr的合数，该组不论是个数最多的一组还是最少的一组，除去首项Nr，含质因数Nr的合数个数占所有数总个数的比为ar[]Nr（0

若从Nr组中抽取首项为Np的一组，则当Np为Nr时，该组除首项Nr外均为含质因数Nr的合数，抽取后剩下的每组是都不含质因数Nr的合数，而以其他质数为质因数形成的合数个数所占的比在每组中（抽取的或未抽取的）或在所有数总个数中是相同的.

若用两种方法将这些数重排得到Ny、Nz组，从Ny组中抽取首项为Np（Np可以为Ny）的一组中的某个数，与该数相差2NyNz的数在Ny组的同一组中也在Nz组的同一组中，而首项为Np的一组数每相邻两数之间相差2Ny，从相差2Ny到相差2NyNz有Nz个数，它们必然分到Nz组中，每组分到的数的个数占该组数总个数的比都相同且为ay[]Ny（0

我们假设该偶数为N=2k+2（k≥2）=（2k1+1）+（2k2+1）（k1，k2≥1），即该偶数等于两个奇数之和，按照前面那个加数从小到大，后面那个加数从大到小，把该偶数等于两个奇数之和的所有算式列出：

因为合数由它的最小质因数形成，所以在3→（2k-1）范围内能够作为质因数的最大质数为与2k-1最接近且小于或等于2k-1的质数.我们假设：与2k-1最接近且小于或等于2k-1的质数为Nw，与Nw最接近且小于Nw的质数为Nm，把所列式子个数看作1，按一定顺序分组重排、抽取淘汰算出含合数的式子（某式子的前面加数中含有或某式子的后面加数中含有或某式子的前后两个加数中都含有）等于两个质数之和的式子在所列式子总个数中所占的比.

将所列式子的前后加数分别按以3、5、7为首项、6为公差的等差数列把前后加数都排成3组（共6组）：

把所列式子也排成了3组，式子个数最多的一组比最少的一组多1，其中有两组为3、9、15……这两组除首项3外均为含质因数3的合数，如果该偶数含质因数3，那么这两组出现在同一组式子的前后加数中;如果该偶数不含质因数3，那么这两组分别出现在某一组式子的前面加数中和另一组式子的后面加数中，从这些组中抽取并淘汰含质因数3的合数的式子，则抽取淘汰式子个数占式子总个数的比、抽取淘汰后剩下式子个数占式子总个数的比分别为a1[]3、3-a1[]3（當该偶数含质因数3时，a1≈1且a1等于含质因数3的合数个数除以所有数总个数且分母为3时的分子值;当该偶数不含质因数3时，a1≈2且a1等于含质因数3的合数个数的2倍除以所有数总个数且分母为3时的分子值）.

在抽取淘汰式子的数中和抽取淘汰后剩下式子的数中，含质因数5、7、11……Nm、Nw的合数所占的比约为1[]5、1[]7、1[]11……1[]Nm、1[]Nw.

对剩下的占式子总个数的比为3-a1[]3的不含质因数3的合数式子中的数进行分组重排，将前面抽取淘汰式子中的数全部放回剩下的数中参加重排，分别以3、5、7、9、11为首项、10为公差的等差数列把前后加数都排成5组（共10组）：

把所列式子也排成5组，式子个数最多的一组比最少的一组多1，其中有两组为5、15、25……这两组除首项5外均为含质因数5的合数，如果该偶数含质因数5，则这两组出现在同一组式子的前后加数中;如果该偶数不含质因数5，则这两组分别出现在某一组式子的前面加数中和另一组式子的后面加数中，从这些组式子中抽取出含质因数5的合数的式子，则抽取出式子的个数占式子总个数的比、抽取后剩下式子个数占式子总个数的比分别为a2[]5、5-a2[]5（当该偶数含质因数5时，a2≈1且a2等于含质因数5的合数个数除以所有数总个数且分母为5时的分子值;当该偶数不含质因数5时，a2≈2且a2等于含质因数5的合数个数的2倍除以所有数总个数且分母为5时的分子值），将每一组（包括抽取的一组或两组）含质因数3的合数的式子淘汰，再将抽取出的含质因数5的合数的式子淘汰，则淘汰的式子个数占式子总个数的比为a2[]5×3-a1[]3，抽取淘汰后剩下式子个数占式子总个数的比为3-a1[]3-a2[]5×3-a1[]3=5-a2[]5×3-a1[]3.

对剩下的式子占总个数的比为5-a2[]5×3-a1[]3的不含质因数3、5的合数式子中的数进行分组重排，将前面抽取淘汰式子中的数全部放回剩下的数中参加重排，分别以3、5、7、9、11、13、15为首项、14为公差的等差数列把前后加数都排成7组（共14组）：将每一组（包括抽取的一组或两组）含质因数3、5的合数的式子淘汰，再将抽取出的含质因数7的合数的式子淘汰，则淘汰的式子个数占式子总个数的比为a3[]7×5-a2[]5×3-a1[]3，

把所列的式子也排成了Nw组，式子个数最多的一组比最少的一组多1，其中有两组为Nw、3Nw、5Nw……这两组除首项Nw外均为含质因数Nw的合数，如果该偶数含质因数Nw，则这两组出现在同一组式子的前后加数中;如果该偶数不含质因数Nw，则这两组出现在某一组式子的前面加数中和另一组式子的后面加数中，从这些式子中抽取出含质因数Nw合数的式子，则抽取出式子个数占式子总个数的比、抽取后剩下式子个数占式子总个数的比分别为aw[]Nw、Nw-aw[]Nw（当该偶数含质因数Nw时，aw≈1且aw等于含质因数Nw合数个数除以所有数总个数且分母为Nw的分子值;当该偶数不含质因数Nw时，aw≈2且aw 等于含质因数Nw合数个数的2倍除以所有数总个数且分母为Nw的分子值），将每一组（包括抽取的一组或两组）含质因数3、5、7……Nm的合数的式子淘汰，再将抽取出的含质因数Nw合数的式子淘汰，则淘汰的式子个数占式子总个数的比为

在抽取淘汰式子的数中只含质因数Nw的合数，在抽取淘汰后剩下式子的数中不含合数，否则合数的最小质因数将大于Nw，合数将大于（2k-1），是不可能的.

二、任何一个奇数等于三个质数之和

我們先把该奇数表示为一个偶数与一个质数之和，再根据哥德巴赫猜想一的结论，把加数中的偶数表示为两个质数之和，这样就可以证明哥德巴赫猜想二：任何一个奇数等于三个质数之和.

综上所述，通过分组重排、抽取淘汰算出等于两个质数之和式子个数在等于两个奇数之和式子总个数中所占的比大于0证明哥德巴赫猜想一，根据哥德巴赫猜想一证明哥德巴赫猜想二.