深度学习下的概念课教学思考——基于“指数函数及其性质”（第1课时）课例分析

刘文浩

(广东省平远县梅青中学 广东梅州 514600)

前不久，笔者在参加广东省教师素质能力培训中有幸参加了东莞教育局教研室组织的同课异构活动，虽然同是一节“指数函数及其性质”（第1课时）的概念课，但不同的教学处理方式给我留下了深刻的印象。其中一位老师在课堂中巧妙地把学生已有知识和经验进行有机联系，再通过合理的教学设计，使学生进入了主动探究的学习状态，展现了“大胆猜想—合作探索—反思归纳—综合应用”的课堂教学模式，这也是当前教育研究中热点之一——“深度学习”理念的一次生动课堂教学应用。

一、问题的提出

随着国家新课程改革的全面推进，让越来越多的教育者意识到我们的课堂教学需要更注重学生的核心素养，更加强调提高学生主动学习和综合运用知识解决实际问题的能力。然而，几十年的教育改革并没有提升学生在课堂中的专注力、参与性和多样性。当前，高中学生学习数学仍然处于方式被动、效率低下、缺乏热情的状态。因此，广大教育者都在寻找出路，尝试突破这种困境。深度学习也在此背景下应运而生。在高中数学课堂中，尤其是在概念课中深度学习又该如何呈现呢？

二、深度学习在课堂教学中的实施

在这节“指数函数及其性质”（第1课时）课程中，教师首先应了解指数函数是高中阶段学习的第一个基本初等函数，在它之前学生已经学习了函数的概念、函数的性质（定义域、单调性、奇偶性和最值）及指数运算。本节课对一种具体函数的研究方法也对下面对数函数和幂函数的研究提供了基础和借鉴，这也符合深度学习的内在要求。因为深度学习要求教学者打破原有的教材框架，站在整个知识体系中挖掘知识点之间的内在联系，并在课堂教学中组织学生参与合作探究，引导学生在学习中敢于猜想，勤于反思，谨于归纳，善于运用[2][3]。

（一）理清概念，追本溯源——认识指数函数

1.设置情境，让学生感受指数函数的“爆炸式”增长，激发学生主动学习新知的兴趣。

师：每位同学带根绳子，如果让1号同学准备2毫米，2号同学准备4毫米，3号同学准备6毫米，4号同学准备8毫米，5号同学准备10毫米……按这样的规律，50号同学该准备多少毫米？

学生回答完后教师公布事先估算的数据：50号同学该准备100毫米，也就是10厘米，大约半个直尺长。

师：如果改成让1号同学准备2毫米，2号同学准备4毫米，3号同学准备8毫米，4号同学准备16毫米，5号同学准备32毫米……按这样的规律，50号同学该准备多少毫米？

师：大家能否估计一下50号同学该准备的绳子要有多长吗？

教师公布事先估算的数据：50号同学所需准备的绳子约长112589990684262毫米。

师：1 1 2 5 8 9 9 9 0 6 8 4 2 6 2 毫米是多长呢？约等于112589990.684262千米，也就是约1.1亿千米，这又是什么概念呢？这就是说50号同学所需准备的绳子相当于绕地球约2814圈！

设计意图：通过一个看似简单又能让同学参与的小活动，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸式增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。

在以上两个问题中，每位同学所需准备的绳子长度用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y=2x(x∈N*)和y=2x(x∈N*)。

2.课前练习（细胞分裂问题；木锤取半问题；经济增长问题；碳14衰减问题），学生总结。

设计意图：通过一系列的实例引入，为引出正整数指数函数y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)作准备，以有利于学生体会指数函数是刻画增长率的一种函数模型，这也是对数学核心素养之一“数学建模”的一次认识。

3.通过以上四个函数模型的表达式，从式子结构上看有什么共同特征？

设计意图：通过四个函数模型在结构上、底数上的取值等共同特征，提炼出正整数指数函数的概念。同时在教学中也很好地简要说明了底数的取值规定。

分析：能在直观感受的基础上，认识指数函数的增长速度。同时通过对实际问题进行数学抽象，构建数学模型，结合前面已经学过的指数式很好地过渡到正整数指数函数，从而让学生在归纳时不会显得慌乱而盲目，这也通过追本溯源，理清了指数函数的概念缘由，为学生的深度学习找到了起点[4]。

（二）师生探究，类比猜想——了解指数函数

从实践的视角出发思考“深度学习如何开展”，下面将从具体的教学环节作出如下的设计：

1.提出两个问题：（1）研究函数一般可以包括哪些方面？（2）研究函数可以从什么角度？用什么方法去研究？

设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）。

函数的研究方式多种多样，比如可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；也可以用列表法研究函数，但今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍。

设计意图：让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式（包括列表）不同的角度对函数进行研究；对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。

2.引导学生先从具体的函数y=2x(x∈N*)的图象特征入手，分析函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和最值等性质，并推广到一般情形y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)的图象特征，重点突出了两个特征：离散、单调递增或递减(0＜a＜1)，体会底数a对函数y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)的图象性质影响。

设计意图：让学生经历从特殊到一般，体会研究函数图象性质的一般思路：具体函数—图象性质—拓展推广—一般函数图象性质—操作验证。

3.将指数从整数扩充到一般实数得到教材中指数函数的定义。

4.课堂练习一。

设计意图：通过对指数函数的判断，将指数运算性质与指数函数进行联系，进一步加深学生对指数函数定义和本质的理解。

分析：本教学环节通过对正整数指数函数到一般指数函数的过渡，充分考虑到了知识的生成与发展过程和学生的认知规律。要让学生找到深度学习的状态需要教师先进入深度教学的状态，这就需要教师对教材内容，学生的认知有着深入的分析与理解。从教育心理学的角度来说就是通过理解数学、理解学生来找到学生的“最近发展区”[5]。

（三）分组活动，合作学习——理解指数函数

活动方案：

1.下面我们就通过类比正整数指数函数的图象性质研究过程对一般指数函数进行研究。

（2）每一大组再分为两个合作小组；

（3）每组都将研究所得到的结论写出来，并派一位代表上台交流。

设计意图：通过分组活动、合作学习不仅能让学生充当学习的主人，更可加深学生对所得到结论的理解。

2.交流、总结。

设计意图：让学生通过对图象的研究看出函数的一些性质，当然，也要让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，如通过对解析式的研究；让学生上台总结探究成果，可以让学生体会成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；让学生再次经历从特殊到一般的过程，体会具体函数的图象特征，归纳性质。然后将其推广到一般情况，体会底数a对指数函数的图象性质的影响。师生通过几何画板演示底数取值变化时，函数y=ax(x∈N*，a＞0且a≠1)图象的变化情况，验证猜想，归纳性质。

师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书（表格呈现）。

分析：《新课标》指出“自主探索与合作交流是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。”同时，交流与合作也是进行深度学习需要的重要素养。专门研究深度学习达成的美国研究机构威廉和弗洛拉林休伊特基金认为：深度学习需要的素养和目标至少涵盖以下几个方面的内容：第一，掌握核心的学业内容；第二，批判性思维以及复杂的问题解决技能；第三，有效的交流技能；第四，合作技能；第五，理解如何学习；第六，学术思维模式。可见，在课堂教学中更加科学合理地组织开展交流探讨活动是必不可少的，这也是学生积累基本实践活动经验的重要途径之一[6]。

（四）综合应用，巩固提升——运用指数函数

1.例题解析，运用指数函数的单调性比较两个值的大小。

2.课堂练习二：（1）不等式3x＞31-2x中的x的取值范围是____ __________。

（2）ax＞a1-2x(a＞0，a≠1)中x的取值范围是____________。

设计意图：让学生通过对比例题中的两个值的同底和不同底实数的特征，构造相应的指数函数，通过指数函数的单调性、图象转化为两个函数值的大小问题进行解决，体会函数思想的应用。而拓展练习则通过不同难易梯度，逐步提升巩固学生对所学知识的运用能力。

分析：学生在例题讲解及课堂练习过程中把所学的新旧知识进行迁移应用，并在一次次的迁移应用中不断形成数学学习习惯和思考能力，这样可进一步促进学生数学思维的发展。上海师范大学黎加厚教授对深度学习的定义中指出：“深度学习就是在理解学习的基础上，学习者能够批判性地学习新的思想和事实，并将它们融入原有的认知结构中，能够在众多思想间进行联系，并能够将已有的知识迁移到新的情景中，作出决策和解决问题的学习。”因此，在课堂教学实施中教师在对例题和练习的选取时应该考虑知识的可迁移性及拓展性[1]。

三、深度学习在课堂教学中的思考

（一）把握深度学习的关键，开展主体性探究学习

深度学习下的学习者能深度理解知识信息，主动完成知识体系的建构，并具备迁移与应用的能力。新课程标准提出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式……数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”[7]。

在理解指数函数的图象及其性质这一教学环节中，教师充分给学生自主的时间和空间，首先分成两大组，然后根据学生自愿再自由组合成四小组，并让不同小组的学生合作画图和运用几何画板验证结论，让每位学生都参与进来，充分发挥学生的合作意识。还有让每组学生通过自主讨论，总结成果，并民主推荐一位同学汇报成果，让所有的知识都是学生通过自主学习获取。

（二）促进深度学习的有效教学，开展问题驱动设计策略

让学生主动参与学习的探究过程，必须激发学生内在驱动下的积极性。那么，问题驱动是激发学生学习兴趣，促进深度学习的重要途径。

在本节课例中，我们可以发现，不管是情境的引入，还是从特殊的正整数指数函数到一般的指数函数的过渡。教师都很好地通过问题的驱动对知识的建构进行了层层递进，逐步深入。把教学难点进行了自然分解，得到了很好的突破。

本节课还有个最大特点，就是充分尊重知识的生成与发展过程及学生的认知规律，并且重视通过学生画图操作发展学生的探索能力，让学生经历科学发现的过程，这使深度学习理念在本节课得到了充分体现，学生的学习兴趣很浓，整节课都在积极思考，教学效果很好。

数学学习不仅是对某一知识的掌握，而是培养学生的数学能力，让学生学会用数学的眼光看世界，用数学的语言表达世界，用数学的思维思考世界。这就需要教师在教学中转变观念，还学生学习中的主体地位，给学生一个深度学习的机会。