让学生学会“数学地想”*——《好玩的一笔画》教学实录及解析

□李铁安 张惠云

这节课是以数学家欧拉解决“哥尼斯堡七桥问题”为史料背景展开的。本节课不仅要让学生探究一笔画图形的规律，还要让学生经历一个发现提出问题和分析解决问题的完满的过程，并在探索的过程中引导学生“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言描述世界”。

【教学过程】

环节一：创作及判断图形能否一笔画——明确何为一笔画

教师在屏幕上动态展示一笔写出“好玩”两个字的过程（如图1）。

师：同学们请看！这两个字认识吗？

生：认识！是“好玩”两个字。生：我发现“好玩”这两个字是一笔写出来的。师：一笔连着写出“好玩”两个字，确实挺好玩。今天让我们一起来学习“好玩的一笔画”。大家请看，我用一笔创作了一个图形，这是什么？（生答，略）

师：是的，老师用一笔画出了一个向上指的箭头。你们能用一笔画出怎样的图形呢？自己试一试！

（学生交流各自的作品，如图2）

图1

图2

师：哦！这么多图案都能用简单的一笔就画出来，你们的想象和创意都很独特。下面同学们再认真看看这些图形（出示图3）。想一想，试一试，能一笔画吗？

图3

生：第①个图形能一笔画，我是这样画的（从圆点处起笔）。

生：我还有其他的画法，这样画也是可以的（从圆点处起笔）。

生：我再试试其他两个点，都不行。

师：你们是从每个点开始尝试一笔画的，这个想法挺好。

生：第②个图形和第⑤个图形从哪个点开始画都行，只要绕着所有的线走一圈就可以啦！

师：从哪个点画都行！你的发现太美妙了！

生：第③个图形也能一笔画，从这两个点开始都是可以的。

师：是啊，这个图形能一笔画，也确实只有这两个点能走通。

生：第④个图形我尝试了所有的点，无论从哪个点开始都不能一笔画，大家看。（展示图片，如图4）

图4

生：第⑥个图形也不能一笔画，怎么画都少一条线。

师：能不能一笔画成，这里面会不会藏着什么秘密呢？（生陷入思考）

师（出示图5）：再看这幅图，好好观察一下，也可以试着在头脑里操作一下，它能一笔画吗？生:这个图形看起来是可以一笔画的，但我试了一下，先从一个点开始，还剩一条线走不到。我继续试，还是不行……我把所有的点都试过了都不行，所以这个图形是没有办法一笔画的（如图6）。

师：说得太好了，思考很严谨。

图5

图6

环节二：探究一笔画图形是否有规律可循——确立奇偶点并明确规律

师：同学们，我很好奇，你们在试的过程中都有什么感觉呢？

生：感觉很绕，很神奇。

生：感觉像走迷宫一样，很有意思。

生：有时候用眼睛看能够一笔画，但是实际画却不行。

生：在画的过程中有时候还觉得挺着急，试了好多次，真想一次成功。如果有规律就好了。

师：是啊，如果有规律，是不是就会简单很多呢？那我们就带着这样的思考继续探索图形的一笔画与什么有关系。（生说猜想，过程略）

师：你们有的猜与点有关，有的猜与线有关，有的猜与点和线都有关系，这些猜测都很有道理！那么，就让我们从这些猜测入手吧！（学生露出兴奋的神情）

师：以上图（指图3）中的第①个图形为例来进行探究，这个图有4个点，将每个点分别用字母ABCD 表示，每个点都能引出线，大家研究一下这些点和线，有什么发现（如图7）？生：从A点和C点能引出3条线，从B点和D点能引出2条线。

图7

师：从一个点引出的线有单数条，这个点我们称之为奇点；从一个点引出的线有双数条，这个点我们称之为偶点。

生：就是说这个图形中有2个奇点，2个偶点。

环节三：使用规律判断图形——揭示“哥尼斯堡七桥问题”历史背景

师：我们已经能够数出图形中的奇偶点个数，但是它们和能一笔画出的图形又有什么关系呢？请自主完成表格，并探索发现其中的规律。

生：我们需要探究的是能一笔画的图形与奇点和偶点有什么样的关系，这里面还包含不能一笔画的图形，我觉得只展示一笔画图形会更好。

师：这个想法太好了，那我们就像你说的这样展示。你有哪些发现呢？

（注：图形及序号均来自图3）

生：我看偶点个数是2、6、3、5，好像没有什么规律。

生：我发现奇点个数是双数的能一笔画。

生：我感觉不对，图（指图3）中第④、第⑥个图形的奇点个数都是4，但是不能一笔画。

师：你用举反例的方法进行证明，看来奇点个数是双数的未必都能一笔画呀！

生：我发现奇点个数是0或2的就能一笔画。

师：真的是这样吗？（师出示图8）你能用这个规律来判断这两个图形究竟能不能一笔画吗？判断后再动笔画一画。

生：第①个图形中有2个奇点，能一笔画，我画了一下，确实能一笔画。

生：第②个图形中有4 个奇点，不能一笔画。我尝试了很多次，还真的不能一笔画。

师：看来我们探究出的这个规律还挺好用的。（师又出示图5）还记得这个图形吧，请你们再利用我们发现的规律来判断一下。

生：不能一笔画，因为这个图中有4个奇点。

师：是啊！那么你们知道吗？这幅你们最初看来很乱很烦，后来看起来又很清晰很可爱的图，在它的背后，还有一段激动人心的故事呢！

（教师播放课件，背景语音+动态展示）

18 世纪，哥尼斯堡有一条河，河中有两个小岛。全城被河分割成四块陆地，河上架有七座桥，当时许多市民都在思索一个问题:一个人能否从某一地点出发，不重复地走遍所有的桥。这就是历史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”。最后瑞士大数学家欧拉把这七桥问题转化为图形能否一笔画的问题。

师：所以，我们今天就像数学家一样，通过奇偶点判断图形能否一笔画，由此顺利地解决了七桥问题。

环节四：通过规律解决洒水车行走路线问题——发现奇点为0或2起止点不同

师：其实生活中还有很多这样的问题。例如洒水车要给这两个街道洒水，仔细看图（师出示图9），能不能从每个点出发不重复地洒遍所有的路呢？

图9

生：第①个图形可以从每个点出发洒遍所有的路，第②个图形只有从两个点出发能洒遍所有的路，其他点都是不可以的。

师：是这样吗？（动态展示所有点行走路径）

师：你还有哪些发现？

生：我发现第①个图形从每个点出发都回到了出发点，第②个图形没有回到出发点。

师：真是这样！这两幅图的起止点不同。

生：我发现了第①个图形的奇点是0，第②个图形的奇点是2。

生：也就是说，奇点是0 的图形从哪个点开始都可以一笔画，从起点开始最终都回到起点。如果奇点是2的图形只能从一个奇点开始，到另外一个奇点结束，而且只能从那两个奇点画才能一笔画。

环节五：根据规律尝试改造“哥尼斯堡七桥问题”，使之可以一次走完

师：下面我们再来玩一玩！之前老师在教学这课时，曾经有一位小朋友好奇地提出：能不能把无法一笔画的图形变成能够一笔画的图形呢？这是不是也很有意思？我们就来试一试！（过程略）

师：我们今天共同学习了好玩的一笔画。一笔画好玩，对这个问题的探究过程更好玩！我们经历了一次充实而愉悦的数学文化之旅！最后我要告诉你们一个小秘密——今天的课也让老师特别地充实和愉悦，所以我要谢谢同学们啊！再见！

【育人意蕴解析】

本节课在创新性上做了一些探索与突破。

开课情境引入“新”。课始，教师就出示了一笔写成的两个字“好玩”。“什么字？”“好玩。”“好玩吗？”“好玩。”“好玩在哪里？”“一笔写出‘好玩’两个字，是挺好玩的。”这个略带俏皮的设计能让学生初步感受一笔画图形，同时也告诉学生这节课是要“玩”数学。简单的设计恰到好处！既能唤起学生的认知，又能迅速调整好学生的学习状态。

问题结构搭建“新”。课程内容要“问题化”才能成为教学内容；教学内容要“逻辑化”才能成为学习内容。本节课设计了以下问题：①在学生尝试一笔画的基础上，教师给出一些图形，让学生判断可否一笔画出。②特别给出哥尼斯堡七桥问题的抽象图，让学生判断可否一笔画出。③结合给出的图形，让学生探究什么样的图形能够一笔画出。④让学生通过分类，概括出“奇点”和“偶点”的概念。⑤让学生归纳出一笔画与偶点个数无关，只与奇点个数有关（0或2）。⑥给出哥尼斯堡七桥问题的抽象图，让学生揭示为什么不能一笔画。⑦介绍哥尼斯堡七桥问题，让学生抽象出结构图。⑧让学生应用特征规律解决实际问题并探究归纳奇点个数是0或2的图形一笔画出的路径特征。⑨探索如何把不能一笔画的图形升级为可以一笔画的图形（以哥尼斯堡七桥问题为例）。

前5个问题直接指向核心问题，其中问题①②重在实践感知，学生通过画一画、想一想、试一试，形成对一笔画图形的初步认识；问题③④⑤则在感知的基础上通过列表分类归纳得出结论。这是一个完整的培养学生的思维从形象思维向逻辑思维过渡的过程。问题⑥⑦旨在建立起数学模型和现实问题之间的联系，“哥尼斯堡七桥问题”从抽象图到结构图再回到抽象图，学生在经历像数学家一样思考的过程中感悟数学从生活中来再回到生活中去。问题⑧⑨指向具体应用，在解决实际问题时进一步理解规律并启发学生从更深层次对问题进行追问、反思和再创造。这样的问题结构按逻辑搭建之后，便为学生提供了一个充满学习意义的有力抓手，让学生经历完满的学习过程成为可能。同时，学生的数学核心素养在结构化和逻辑化问题的导引下得到有效发展。

数学史料处理“新”。在数学文化课堂上，隐性的数学史料要成为显性的教学内容。因此，对数学史料的设计处理往往决定一节课的高度。本节课教学中三次出现“哥尼斯堡七桥问题”，第一次直接出示数学模型——抽象图，让学生尝试探索能否一笔画，初步感知；第二次先让学生用规律直接判断抽象图能否一笔画后出示现实问题，经讲解后再尝试建立抽象图和结构图之间的联系；第三次结合模型和现实问题让学生再创造——怎样改造成能一笔画的图形，即不重复不遗漏走完所有的桥。这是一种极为巧妙的创新！“哥尼斯堡七桥问题”的每一次出现都独具匠心、别有意味。设计上充分把数学史料作为课堂教学主线，用好用透，课程内容充满了文化意蕴。

学生活动过程“新”。由于教师基于具体问题科学地组织教学，学生的学习方式就变得灵活有效，学生的思维体验和情感体验就变得生动有趣。在本节课开始阶段学生动手尝试哪些图形能一笔画时，教师没有满足于学生的浅尝辄止，而是充分引导——“能一笔画的图形还可以怎样画？”学生初步感知能一笔画的图形的不同画法。在得到规律进行实际应用，解决“洒水车不重复不遗漏洒水”的两个具体问题后，教师有意留白，给学生足够的时间进行思考。果然，学生恍然大悟，激动不已，发现能一笔画图形的不同画法：一种图形奇点的个数是0，一种图形奇点的个数是2。首尾照应，水到渠成，学生的认知体验和情感体验都得到了强化。在提炼能一笔画图形的规律的过程中，教师很好地引导学生观察一组图形的列表：“认真观察，你有什么发现？”学生首先发现可以去掉不能一笔画的图形让表格更简洁直观，接着又有学生发现偶点的个数与能否一笔画没有直接关系，可以在表格中去掉“偶点个数”一栏。在教师精妙的评价中学生的思维火花完全被点燃，通过举反例的方法聚焦奇点的个数是0或2。在此过程中，师生、生生的信息交流渠道完全被打通，学生既能在教师的预设下独立思考问题，不断地进行追问和反思，又能在同伴的启发下，多角度思考问题，完善自己对问题的理解和解决。此时，学习真正发生！