含积分式方程的解的研究

常秀芳

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037007)

当遇到含积分式的方程求解时，似乎感到很棘手。其实含积分式的方程中的积分有两类，一类是定积分；另一类为变限函数[1]。

1 积分式为定积分

1.1 传统的代入法求解

由于定积分是一个数值，所以本类亦可采用代入法确定定积分的值，便可求解[2-4]。

例1设f(x)是连续的函数，且满足方程f(x)=x+，求f(x)。

解设A=，由原方程得

f(x)=x+2A，

代入原方程得

f(x)=x+1+4A，

则

故

f(x)=x-1。

1.2 取积分法求解

由定积分概念知：定积分是一个数值，因此关于这类方程的求解方法一般是方程两边同时取该积分区间的定积分，把该定积分求出即得方程的解。

例2对例1利用取积分法求解。

解原方程等式两端取积分得

代入原方程得

f(x)=x-1。

例3已知函数f(x)在区间[-1,1]上连续，且满足方程f(x)=3x-，求f(x)。

解原方程等式两端同时取区间[0,1]上的定积分，得

1.3 求导法求解

定积分的导数为零。因此，关于这类方程的求解方法一般是方程两边同时对自变量求导，可得关于所求函数的微分方程，再微分方程即得所求解。

例4对例1利用求导法求解。

解原方程等式两端同时对x求导得

将其代入原方程得

2 积分式为变限函数

由于积分变限函数都可以利用定积分的概念转化为积分变上限函数，并有定理1。

定理1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么变上限函数φ(x)=在区间[a,b]上可导，而且它的导数等于被积函数，即φ(x)==f(x)。

因此，求这类方程的解的一般方法是将方程两边同时对自变量求导，去掉积分变限函数，可得关于所求函数的微分方程，再利用求解微分方程即得所求解。

例5设φ(x)是连续的函数，且满足方程φ(x)=,求φ(x)。

解因为方程

变形为

对上式求导得

再求导得二阶常系数非齐次线性微分方程

特征方程为

λ2+1=0，

特征根

λ=±i，

因r=1≠±i，设二阶常系数非齐次线性微分方程的特解为y=Aex，将其代入微分方程得A=。

则

又知x=0时，φ(0)=1，φ′(0)=1，知c1=，c2=，

故