求解类拉普拉斯方程的径向基函数配点法

周德亮, 高欣欣, 杨 悦

(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029)

目前,求解偏微分方程近似解时广泛使用的方法主要有有限元法和有限差分法等.这些方法的一个显著特征是必须依赖网格,这使得它们在用于实际工程计算时会出现计算量大和算法实现较为困难等问题.为了寻找能够克服这些缺点的数值计算方法,学者们研究出了一类免网格的微分方程数值求解新方法——无网格法.

径向基函数(Radial Basis Function,简称RBF)配点法是众多无网格法中的一种,具有方法直接、原理简单、收敛速度快、无须数值积分、节点布置灵活等特点,因而该方法具有易于理解、编程容易、计算速度快、适用问题广、更易于求解高维问题等的优点.径向基函数配点法的研究始于1990年[1],因为该方法的上述优点,日益引起诸多领域研究人员的关注.20世纪末至21世纪初该方法的理论基础初步建立[2-6],不过至那时以来相关的理论研究鲜有进展.与此同时,尝试将该方法应用于许多类型方程及许多工程领域问题的求解的报道越来越多[7-10].

类拉普拉斯方程是工程领域较为常见的一类偏微分方程,用径向基函数配点法按常规方法直接求解这类方程会因为方程本身的特征而失效.本文通过引入相容条件,建立了求解类拉普拉斯方程定解问题的径向基函数配点法,并用算例验证了该算法的有效性.

1 径向基函数配点法

径向基函数是指形如φ(‖x-ξ‖)这样的由一元函数与距离函数复合而成的函数,其中,ξ称为中心点.考虑如下微分方程定解问题：

(1)

(2)

其中,L为线性偏微分算子,f(x)、g(x)为已知函数.

布置中心点ξ={ξ1,…,ξN}和配点X={x1,…,xN}.将配点分成内点I(N0个点)和边界点B(N1个点).用径向基函数构造如下形式的近似解函数,即

(3)

把近似解式(3)代入微分方程定解问题(1)、 式(2)中,并使式(1)、 式(2)分别在内点和边界点上成立,得到

(4)

(5)

由此得到线性方程组

Ac=F,

(6)

其中,

F=[f(x1),…,f(xN0)g(x1),…,g(xN1)]T,xi∈X,

c=[c1,…,cN]T.

求解该方程组,由式(3)得到定解问题的近似解.

2 类拉普拉斯方程的径向基函数配点法

考虑如下形式的类拉普拉斯方程定解问题:

(7)

其中,U为待解函数,K为已知张量函数,n为外法线方向向量,f(x)和g(x)为已知函数,Γ1为第一类边界,Γ2为第二类边界.该方程常见于非均匀多孔介质中的单相稳态渗流问题,K是渗透率张量.如果U表示温度,K表示热传导系数,该方程就对应稳态热传导问题.

本文考虑K是分块常量的情形(这是数值计算时的典型情况).依据K的分块特征将求解域划分为若干个子区域,使得K在每个子区域上为常量.以二维两个分区为例,如图1所示.

图1 分片常量区域图Fig.1 Sharding constant region diagram

在不同子区域的分界线ΓD上满足相容条件,即

U(1)|x∈ΓD=U(2)|x∈ΓD,

(8)

[K(1)(x)·U(1)]·n(1)|x∈ΓD=-[K(2)(x)·U(2)]·n(2)|x∈ΓD,

(9)

其中,U(i)为分界线上的i区待解函数,ni为i区的边界外法线方向,i=1,2.

如果取n=n(1),则n(2)=-n,式(9)变为

[K(1)(x)·U(1)]·n|x∈ΓD=-[K(2)(x)·U(2)]·n|x∈ΓD.

(10)

在此情况下,问题(7)可归结为如下的定解问题：

(11)

其中,Ω(k)为k区子域.

将近似解式(3)代入微分方程定解问题式(11)中,由式(4)、式(5)得到

由式(6)得到近似解函数的待定系数在两个子区域满足的配点方程组(以下简称分区方程组):

A(k)c(k)=b(k).

(12)

其中,

将近似解式(3)代入相容条件式(8)、式(10)中,使代入后的相容条件式(8)、式(10)在分界线上的节点成立:

整理得到系数矩阵:

进而得到近似解函数的待定系数满足的配点方程组(以下简称相容条件方程组):

(A(11)-A(21))c=0 ,

(13)

(K(1)A(12)+K(2)A(22))c=0,

(14)

将分区方程组式(12)和相容条件方程组式(13)、式(14)联立得到定解问题式(11)的矩阵表达

求解该方程组,就可以得到整个域上的近似解.

3 数值算例

假定区域Ω为矩形域[0,4]×[0,1], 在矩形域Ω内满足

(15)

其中,

令式(15)的准确解是

假定矩形域Ω的左右边界满足第一类边界条件,上下边界满足第二类边界条件,具体值由准确解确定.

图2 准确解和近似解Fig.2 Accurate and approximate solutions

图3 准确解和近似解的绝对误差Fig.3 Absolute errors of the accurate and approximate solutions

经检验,绝对误差为10-4数量级,算法具有较高的精度.

4 结 语

本文建立了径向基函数配点法求解类拉普拉斯方程问题的方法,算例计算表明该方法求解问题简捷有效,算法具有很高的精度.本文的方法具有节点布置灵活、完全不需要网格等优点,为类拉普拉斯方程问题的求解提供了一种新的途径.但在分区较多时,该方法就变得复杂了,失去其优越性.如何将该方法进行改进,使其易于求解较多分区的情况,将有待进一步研究.