对拉普拉斯变换的教学理解

杨晶

[摘           要]  拉普拉斯变换是本科常微分方程教学中的一个基本理论，也是研究生数学物理方程教学中的重点，被广泛应用于微分方程的求解中。从拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换在微分方程求解中应用的角度对拉普拉斯变换进行认识，从而帮助学生更好地理解及掌握拉普拉斯变换这一知识点。

[关    键   词]  拉普拉斯变换;应用;教学;微分方程

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2021）11-0164-02

随着18世纪传统力学的蓬勃发展，在物理学的研究中产生了大量的微分方程，而对这些微分方程的研究受到了众多学者的关注。拉普拉斯变换，作为解决电工计算中遇到的一些基本问题应运而生。拉普拉斯变换是一种简化微分方程的“运算”，可将复杂的微积分计算转化为简单的代数计算，是研究和求解微分方程的一种简便方法，为工程技术工作者所普遍采用，在电学、力学及自动控制等科学领域得到广泛的应用。下面我们将从一个教师的角度，针对拉普拉斯变换的定义、性质及应用阐述关于教学的思考和理解。

一、拉普拉斯变换的定义与性质

在进行拉普拉斯变换的教学之前，学生已经学习过傅里叶变换[1-2]的相关知识。怎么从傅里叶变换过渡到拉普拉斯变换，或者说怎么引入拉普拉斯变换是教师在教学中应该要思考的问题。傅里叶变换的重要性毋庸置疑，它将原来难以处理的时域信号转换为易于分析的频域信号，是数字信号处理领域一种很重要的算法，也是求解微分方程的重要手段。但是在学习傅里叶变换时，我们已经知道进行傅里叶变换的函数除了要求满足狄利克雷条件外，还必须在整个实数域上绝对可积。但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t为自变量的函数在t<0时是无意义的，或者说对于有些函数是不需要考虑t<0时的情形的。这样，傅里叶变换的应用范围就受到很大限制。怎样弱化这些限制就显得尤为重要，而且这也是值得学生探讨和思考的问题。

前面已经提到过傅里叶变换是特殊的拉普拉斯变换，傅里叶变换自法国数学家Joseph Fourier于1801年解释圆环面周围热流动时首次提出之后，成为许多学科用来解决无界区域上同方程有关的定解问题的一个重要工具[5]。它的重要性和适用的广泛性在学习傅里叶变换时学生已经很清楚了，那么对于拉普拉斯变换而言，它同样可以用于求解微分方程，接下来我们给出拉普拉斯变换的应用，以帮助学生进一步理解及掌握拉普拉斯变换。

二、拉普拉斯变换的应用

在本科阶段常微分方程的学习中，学生已经知道了借助拉普拉斯变换可以把常系数线性常微分方程（组）转换成复变量s的代数方程（组）。然后通过一些代数计算，进行拉普拉斯逆变换即可求出微分方程（组）的解。同样借助拉普拉斯变换我们可以求解无界区域上的偏微分问题（如下例）。

值得注意的是，利用拉普拉斯变换解决偏微分方程的问题时，在答题之前对哪个变量进行拉普拉斯变换是需要学生认真考虑的地方。并且在由像函数求像原函数的拉普拉斯逆变换过程中，应该尽量避免直接进行复杂的复积分计算。一般的做法是将像函数分解为最简分式，尽可能利用拉普拉斯變换表得到各个最简分式的原函数，从而由拉普拉斯逆变换的线性性质即可得到所要求的像原函数。

拉普拉斯变换是常微分方程和数学物理方程中极其重要的环节，对此部分内容的教学，教师应通过弱化傅里叶变换限制条件的方式引入，以学生的思维方式为基础，让学生自己去发现拉普拉斯变换的本质，进而过渡深化到理论上更深层次的理解。同时，教师在教学过程中应尽量引入能够帮助学生理解的感性材料，降低学习的难点，激发学生的主观能动性，同时有意识地引导学生对所学知识及时总结，对傅里叶变换和拉普拉斯变换进行整理比较，对所学的知识能够形成一个有机整体，进而能够灵活运用并解决实际问题。

参考文献：

[1]陈才生，李刚，周继东，等.数学物理方程[M].北京：科学出版社，2008-04.

[2]李志荣，白静.高等数学[M].北京：北京理工大学出版社，2018-07.

[3]吴志坚，吴筱坚.傅里叶变换与拉普拉斯变换[J].石油大学学报（自然科学版），1996（10）.

[4]谢绪恺.工数笔谈[M].沈阳：东北大学出版社，2018-12.

[5]田保，田宏根.关于拉普拉斯变换法的一个注记[J].伊犁师范学院学报，2007（4）.

编辑 薛直艳